【IIB三角関数】加法定理と半角の公式を使う・三角関数の最大最小（国公立レベルにチャレンジ）(北海道大2021文系第3問)

実数 $x$ に対して，

$f(x)=\sqrt{3}\Big(x+\cfrac{\pi}{6}\Big)+2\sin^2\Big(x+\cfrac{2\pi}{3}\Big)+4\cos\Big(2\pi+\cfrac{\pi}{3}\Big)$

とおく。（北海道大2021）

(1) $t=\sin\Big(x+\cfrac{\pi}{6}\Big)$ とおく。$\sin^2\Big(x+\cfrac{2\pi}{3}\Big)$ と $\cos\Big(2x+\cfrac{\pi}{3}\Big)$ をそれぞれ $t$ の式で表せ。

(2) $0\leqq x\leqq\pi$ のとき，方程式 $f(x)=0$ の解をすべて求めよ。

加法定理と半角の公式を使う

(1)から始めます。

$\sin^2\Big(x+\cfrac{2\pi}{3}\Big)$

半角の公式より

$=\cfrac{1-\cos\Big(2x+\cfrac{4}{3}\pi\Big)}{2}$

加法定理より

$=\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2}\Big(\cos 2x\cos\cfrac{4}{3}\pi-\sin 2x\sin\cfrac{4}{3}\pi\Big)$
$=\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2}\Big(-\cfrac{1}{2}\cos2x+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin2x\Big)$
$=\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{4}(\sqrt{3}\sin2x-\cos2x)$ ・・・①

次に $t$ を 2 乗してみると良いでしょう。

$t^2=\sin^2\Big(x+\cfrac{\pi}{6}\Big)$

半角の公式より

$=\cfrac{1-\cos\Big(2x+\cfrac{\pi}{3}\Big)}{2}$

加法定理より

$=\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2}\Big(\cos2x\cos\cfrac{\pi}{3}-\sin2x\sin\cfrac{\pi}{3}\Big)$
$=\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{1}{2}\cos2x-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin2x\Big)$
$=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}(\sqrt{3}\sin2x-\cos2x)$

よって

$\cfrac{1}{4}(\sqrt{3}\sin2x-\cos2x)=t^2-\cfrac{1}{2}$ ・・・②

①に代入して

$\sin^2\Big(x+\cfrac{2}{3}\pi\Big)=\cfrac{1}{2}-t^2+\cfrac{1}{2}$

$=1-t^2$　（答え）

今度は，$\cos\Big(2x+\cfrac{2}{3}\pi\Big)$ を求めます。

$\cos\Big(2x+\cfrac{2}{3}\pi\Big)$

加法定理より

$=\cos2x\cos\cfrac{\pi}{3}-\sin2x\sin\cfrac{\pi}{3}$
$=\cfrac{1}{2}\cos2x-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\sin2x$
$=-\cfrac{1}{2}(\sqrt{3}\sin2x-\cos2x)$　・・・③

ここで，②を変形すると

$-\cfrac{1}{2}(\sqrt{3}\sin2x-\cos2x)=1-2t^2$ ・・・④

③に代入して

$\cos\Big(2x+\cfrac{2}{3}\pi\Big)=1-2t^2$　（答え）

三角関数の最大最小

(2)に進みます。

(1)の結果を用いて，$f(x)$ を $t$ の式に置き換えていきましょう。

$f(t)=\sqrt{3}t+2(1-t^2)+4(1-2t^2)$
$=\sqrt{3}t+2-2t^2+4-8t^2$
$=-10t^2+\sqrt{3}t+6$

右辺を $=0$ として，方程式の解を求めていきます。

$-10t^2+\sqrt{3}t+6=0$ として

$10t^2-\sqrt{3}t-6=0$
$t=\cfrac{\sqrt{3}\pm\sqrt{(\sqrt{3})^2+4\cdot10\cdot(-6)}}{20}$
$t=\cfrac{\sqrt{3}\pm\sqrt{243}}{20}$
$t=\cfrac{\sqrt{3}\pm9\sqrt{3}}{20}$
$=\cfrac{10\sqrt{3}}{20},\space-\cfrac{8\sqrt{3}}{20}$
$=\cfrac{\sqrt{3}}{2},\space-\cfrac{2\sqrt{3}}{5}$

$t=\sin\Big(x+\cfrac{\pi}{6}\Big)$ より

$\sin\Big(x+\cfrac{\pi}{6}\Big)=\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ とすると

$x+\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\pi}{3},\space\cfrac{2\pi}{3}$

$x=\cfrac{\pi}{3}-\cfrac{\pi}{6},\space\cfrac{2\pi}{3}-\cfrac{\pi}{6}$
$=\cfrac{\pi}{6},\space\cfrac{\pi}{2}$

また，$\sin\Big(x+\cfrac{\pi}{6}\Big)=-\cfrac{2\sqrt{3}}{5}$ とすると

$0\leqq x\leqq\pi$ より

$\cfrac{\pi}{6}\leqq x+\cfrac{\pi}{6}\leqq\cfrac{7\pi}{6}$
$-\cfrac{1}{2}\leqq\sin\Big(x+\cfrac{\pi}{6}\Big)\leqq1$

$-\cfrac{2\sqrt{3}}{5}$ と $-\cfrac{1}{2}$ の大小を比べてみましょう。平方根が含まれているので，2 乗します。

$\cfrac{12}{25}$　$\cfrac{1}{4}$
$\cfrac{48}{100}>\cfrac{25}{100}$

となります。つまり

$-\cfrac{2\sqrt{3}}{5}<-\cfrac{1}{2}$

よって，式を満たす $x$ は存在しない。

したがって $x=\cfrac{\pi}{2},\space\cfrac{\pi}{6}$ （答え）