数IAIIB 高校数学の解法

【数II高次方程式】解の一つが分かっているとき,他の解を求める

3次方程式 $x^3+ax^2+4x+b=0$ が解 $1+i$ をもつとき,実数の定数 $a,b$ の値を求めよ。また,$1+i$ 以外の解を求めよ。(青山学院大)

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式を実部と虚部で整理する

とりあえず,解を代入してみましょう。

$x^3+ax^2+4x+b=0$ に $x=1+i$ を代入すると

$(1+i)^3+a(1+i)^2+4(1+i)+b=0$

ここは,公式 $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ を思い出しましょう。

$i$ ってどうするんだっけ?

$i^2=-1$ だから,$i^3=i\times i^2=i\times(-1)=-i$ ってなる。

$1+3i-3-i+a(1+2i-1)+4+4i+b=0$
$2+6i+2ai+b=0$
$2+b+(6+2a)i=0$

このとき,式全体が $0$ であるなら,式の実数部分 $2+b$ は $0$ になり,また虚数部分 $6+2a$ も $0$ になります

よって

$2+b=0$
$b=-2$ (答え)

また

$6+2a=0$
$a=-3$ (答え)

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式が 0 となる x を見つける

よって,式は $x^3-3x^2+4x-2=0$ となります。

この式は $x=1$ を代入すると 左辺$=0$ となるので,$x=1$ が解であることはすぐに分かります。

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共役な複素数も解になる

一般に,実数を係数とする $n$ 次方程式の解の1つが虚数ならば,その共役な複素数も解となります。
この問題で言えば,解の1つが $1+i$ なら,共役な複素数 $1-i$ も解となります。

これで,解がそろいました。

したがって,$1+i$ 以外の解は

$x=1,1-i$ (答え)

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