ここでは，高次方程式の解き方に工夫が必要なものを取り上げてみます。
右辺を移項する
[問題] $8x^3=1$
$x=\cfrac{1}{2}$ って解ですよね。
そうね。それは式の見た目で分かるね。でも他にもあるよ。
この問題は右辺を移項するのがポイントです。
$8x^3-1=0$
これを $(2x)^3-1^3=0$ とすると公式が使えます。
公式 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$(2x-1)(4x^2+2x+1)=0$
$4x^2+2x+1=0$ とすると解の公式より
$x=\cfrac{-1\pm\sqrt{1-4}}{4}$
$=\cfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{4}$
したがって，方程式の解は
$x=\cfrac{1}{2},\cfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{4}$ (答え)
平方の差に持ち込む
[問題] $x^4+5x^2+9=0$
$x$ に値入れても $=0$ になるヤツが見つからないです。
そういうときに使えるのが平方の差。
少し分かりやすくするために，$x^2=X$ としておきます。
$X^2+5X+9=0$
これを平方の差に持ち込みます。考え方としては，平方完成したときに $+9$ が消えるように調節するとよいでしょう。
$(X+3)^2=X^2+6X+9$ だから，式を変形して
$X^2+6X+9-X=0$
$(X+3)^2-X=0$
なんかヘンな感じ。
そうだね。結構ムリヤリに式変形している感じ。テクニックとして知らない限り，考えて思いつくようなものではないかも。
$X$ をもとに戻して
$(x^2+3)^2-x^2=0$
ここから，因数分解の公式を用います。
[公式] $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ より
$(x^2+3+x)(x^2+3-x)=0$
ここで，$x^2+x+3=0$ とすると解の公式より
$x=\cfrac{-1\pm\sqrt{1-12}}{2}$
$=\cfrac{-1\pm\sqrt{11}i}{2}$
また，$x^2-x+3=0$ とすると解の公式より
$x=\cfrac{1\pm\sqrt{1-12}}{2}$
$=\cfrac{1\pm\sqrt{11}i}{2}$
したがって，方程式の解は
$x=\cfrac{1\pm\sqrt{11}i}{2},\cfrac{-1\pm\sqrt{11}i}{2}$ (答え)