数III高校数学の解法

【数III微分】接線の座標の存在範囲/漸近線を求めてグラフの概形を描く(九州大2020)

点 $(a,0)$ を通り,曲線 $y=e^{-x}-e^{-2x}$ に接する直線が存在するような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。(九州大2020)

この問題,最終的には教科書で見た感じの漸近線のグラフを描くことになる。ただ,計算力が結構必要。

今回,接線だから直線ですよね?

入り口はね。そのうち分かる。

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問題文から条件を考える

まず,ある曲線に接する直線とは接線のことです。接線の公式を思い出しましょう。

関数 $f(x)$ の $x=t$ における接線は
$y=f'(t)(x-t)+f(t)$

これを用いて,とりあえず接線の式を作ってみましょう。

$f(x)=e^{-x}+e^{-2x}$ として
$f'(x)=-e^{-x}+2e^{-2x}$
$=2e^{-2x}-e^{-x}$

項の順番入れ替えるんですね。

なるべく見やすい形にしておくと計算ミスが減る。

$x=t$ における接線の方程式は
$g(x)=(2e^{-2t}-e^{-t})(x-t)+e^{-t}-e^{-2t}$

これが $(a,0)$ を通るので
$(2e^{-2t}-e^{-t})(a-t)+e^{-t}-e^{-2t}=0$

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a を t の関数としてみなす

で?

問われているのは $a$ の存在範囲。ところで,$a$ が存在するかどうかって何で決まると思う?

$t$ の値によって決まると思います。

恐らくね。ということは,それは $a$ を $t$ の関数とみなして $a$ の存在範囲を考えれば良いってこと。

今までも,例えば二次関数で解が存在するかどうかを考えるときに,$y=ax^2+bx+c$ のような式から判別式 $D$ を作り,$D<0$ なら解が存在しない,という判断をしてきました。

これは $y$ を $x$ の関数とみなして,解の存在範囲を求めているということです。今回も同じように,$a$ を $t$ の関数とみなして,$a$ が存在するかどうかを考えていくことになります。

式を展開して
$(2e^{-2t}-e^{-t})a-(2e^{-2t}-e^{-t})t+e^{-t}-e^{-2t}=0$

左辺に $a$ だけ残して $t$ を右側に持っていく。

$a=\cfrac{(2e^{-2t}-e^{-t})t-e^{-t}+e^{-2t}}{2e^{-2t}-e^{-t}}$
$=\cfrac{2te^{-2t}-te^{-t}-e^{-t}+e^{-2t}}{2e^{-2t}-e^{-t}}$

ここで計算を楽にするために,分母と分子に $e^{2t}$ をかけておきます。

$e^{-2t}\cdot e^{2t}=1$,$e^{-t}\cdot e^{2t}=e^t$ になる。

$=\cfrac{2t-te^t-e^t+1}{2-e^t}$

分母は $2-e^t$ よりは $e^t-2$ の方が一般的な形なので,分母と分子に $-1$ をかけて符号をひっくり返しておきます。

絶対必要ではないけど,計算ミスを減らしたいならなるべく整理しておくべし。

$=\cfrac{te^t+e^t-2t-1}{e^t-2}$

ここから,この関数がどのような形になるか考えます。

ここで,漸近線が引けることに気づけるかどうかが大事なポイントです。分母の $e^t-2$ は 0 になることができません。数学では 0 の割り算はできません。

このとき,$e^t-2=0$ になる $t$ が漸近線になります。漸近線を求めてみましょう。

$e^t-2=0$
$e^t=2$

ここで,対数の定義を思い出しましょう。

$a^b=c$ のとき $b=\log_a c$

これを用いて

$t=\log 2$

底が $e$ のときは式から省略できます。

これで,漸近線の一つが求められました。

まだあるの?

分子を有理化できるよ。

$=\cfrac{(e^t-2)+2+te^t-2t-1}{e^t-2}$
$=1+\cfrac{te^t-2t+1}{e^t-2}$

さらに有理化します。

$=1+\cfrac{t(e^t-2)+2t-2t+1}{e^t-2}$
$=t+1+\cfrac{1}{e^t-2}$

ここでもう一つ,$a=t+1$ が漸近線であると言えます。

$t$ の値が大きくなると,$\cfrac{1}{e^t-2}$ は 0 に近づいていきます。つまり,関数のグラフは限りなく $a=t+1$ に近づいていくことになります。これが漸近線です。

漸近線が描けると,グラフの概形も見えてきます。

このグラフ,教科書で見たことあるかも。

あとは,水平な直線を引いて直線と曲線が重なるとき,あてはまる $a$ が存在するということになります。

ということは,関数の極値が必要。

微分して増減表か。

$g(t)=t+1+\cfrac{1}{e^t-2}$ として

ここで,商の導関数の公式を思い出しましょう。

$\Big\{\cfrac{1}{g(x)}\Big\}’=-\cfrac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}$

これを用いて

$g'(t)=1-\cfrac{(e^t-2)’}{(e^t-2)^2}$
$=1-\cfrac{e^t}{(e^t-2)^2}$

$1-\cfrac{e^t}{(e^t-2)^2}=0$ として
$\cfrac{e^t}{(e^t-2)^2}=1$
$e^t=(e^t-2)^2$
$(e^t-2)^2-e^t=0$
$e^{2t}-4e^t+4-e^t=0$
$e^{2t}-5e^t+4=0$
$(e^t-1)(e^t-4)=0$
$e^t=1,4$

$e^t=1$ のとき
$t=0$

$e^t=4$ のとき
$t=\log 4$

よって

$t=0$ のとき
$g(t)=0+1+\cfrac{1}{e^0-2}$
$=1+\cfrac{1}{1-2}=0$

$t=\log 4$ のとき
$g(t)=\log 4+1+\cfrac{1}{e^{\log4}-2}$

ここで,応用として $e^{\log 4}$ の求め方をマスターしましょう。ポイントは,いったん $e^{\log 4}=x$ とおくことです。

$e^{\log4}=x$ として
$\log4=\log x$
$x=4$

すなわち $e^{\log4}=4$

$=\log4+1+\cfrac{1}{2}$
$=\log4+\cfrac{3}{2}$
$\log4=\log2^2=2\log 2$ だから
$=2\log2+\cfrac{3}{2}$

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}\hline t&\cdots&0&\cdots&\log2&\cdots&\log4&\cdots\\\hline g'(t)&+&0&-&/&-&0&+\\\hline g(t)&\nearrow&&\searrow&/&\searrow&&\nearrow\\\hline\end{array}$

したがって

$a\leqq0,a\geqq2\log2+\cfrac{3}{2}$ (答え)

今回の問題は,接線の式を $a$ と $t$ の関数としてみなすのがポイントです。あとは,教科書通り漸近線を見つけ,グラフの概形を考えていきましょう。

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