数IAIIB 高校数学の解法

【数IAデータの分析】分散の公式(2乗の平均ー平均の2乗)はなぜ成り立つの?例題で使い方をマスター

分散求める公式で(2乗の平均—平均の2乗)ってあるじゃないですか?

あるね。私立大学の入試でもよく問われるよ。

公式イマイチ使いこなせなくて。

この公式って暗記しただけだと使いこなせなくて,仕組み理解するの大事。

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分散の公式を変形する

まず,最初に習った分散を求める公式からおさらいしましょう。分散とは偏差の2乗の平均のことでした。

まず,データを $x_1,x_2,\cdots,x_n$ とし,平均を $\bar{x}$ とします。偏差は平均からデータの値を引いたものです。

言いかえればデータが平均からどれだけ離れているかを表すのが偏差。

たとえば,$x_1$ の偏差は $\bar{x}-x_1$ を表すことができます。

そして平均とはすべての値を足してデータの個数で割ったものだから,分散 $s^2$ は

$s^2=\cfrac{(\bar{x}-x_1)^2+(\bar{x}-x_2)^2+\cdots+(\bar{x}-x_n)^2}{n}$

ここから,(2乗の平均-平均の2乗)の公式に変形する。

分子を展開すると

$(\bar{x}-x_1)^2=\bar{x}^2-2x_1\bar{x}+{x_1}^2$
$(\bar{x}-x_2)^2=\bar{x}^2-2x_2\bar{x}+{x_2}^2$
・・・・
$(\bar{x}-x_n)^2=\bar{x}^2-2x_n\bar{x}+{x_n}^2$

これらを3つの項に分けて考え,それぞれ足し合わせます。

最初の項は $\bar{x}^2$ が $n$ 個あるので $n\bar{x}^2$ です。

2番目の項は $\bar{x}$ が共通しているので $-2\bar{x}(x_1+x_2+\cdots+x_n)$ です。

3番目の項は ${x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2$ です。

そして,それぞれの式を $n$ で割ります。

1番目の項

$\cfrac{n\bar{x}^2}{n}=\bar{x}^2$

2番目の項

$-\cfrac{2\bar{x}(x_1+x_2+\cdots+x_n)}{n}=-2\bar{x}^2$

どういうこと?

$\cfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$ はデータを合計して個数で割るってことだから,つまり平均でしょ?だから $=\bar{x}$ になる。こうやって,$x_1+x_2+\cdots+x_n$ の部分が置き換わるのが,今回大事なところ。

3番目の項

$\cfrac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}$ (2乗の平均)

3つを合わせると

$s^2=\cfrac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}-\bar{x}^2$ ・・・(*)

(2乗の平均-平均の2乗) 

共通テストでも上のような式変形を自分でできるかどうか試される可能性が高いから,練習しておくと良い。

書くのメンドイ。

慣れの問題。公式暗記じゃなく,なぜその式が成り立つのかを説明できるのが大事。

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練習問題


16 個の値からなるデータがあり,そのうち 10 個の値の平均値は 3,分散は 2,残りの 6 個の値の平均値は 11,分散は 10 である。

(1) 16 個のデータの平均値を求めよ。

$3\times10+11\times6=30+66=96$
$96\div16=6$ (答え)

(2) 16 個のデータの分散を求めよ。

公式 $s^2=\cfrac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}-\bar{x}^2$ ・・・(*)を用いる。

16 個のデータを $x_1,x_2,\cdots,x_{10}$ の 10 個と $x_{11},\cdots,x_{16}$ の 6 個に分けると

${s_1}^2=\cfrac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_{10}}^2}{10}-3^2=2$
${x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_{10}}^2=110$ ・・・①

また

${s_2}^2=\cfrac{{x_{11}}^2+\cdots+{x_{16}}^2}{6}-11^2=10$
${x_{11}}^2+\cdots+{x_{16}}^2=786$ ・・・②

①+②

${x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_{16}}^2=896$

これを再び公式(*)にあてはめると,16個のデータの平均値が 6 であることに注意して

$s^2=\cfrac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_{16}}^2}{16}-6^2$
$=\cfrac{896}{16}-36=20$ (答え)

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