数IAIIB 高校数学の解法

【数IA確率・整数】最大公約数と最小公倍数の話を小学校までさかのぼる(北海道大2020)

$n$ を 2 以上の自然数とする。1 個のさいころを続けて $n$ 回投げる試行を行い,出た目を順に $X_1,X_2,\cdots,X_n$ とする。(北海道大2020)

(1) $X_1,X_2,\cdots,X_n$ の最大公約数が 3 となる確率を $n$ の式で表せ。

(2) $X_1,X_2,\cdots,X_n$ の最大公約数が 1 となる確率を $n$ の式で表せ。

(3) $X_1,X_2,\cdots,X_n$ の最大公約数が 20 となる確率を $n$ の式で表せ。

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最大公約数の考え方

(1)から始めます。

何していいかイマイチひらめかない。

最大公約数って初め小学校で習って,何となくで理解してること多いから,案外こういう聞かれ方すると分からなくなること多いみたいね。

ですね。

今回はさいころの話なので 1 から 6 の数字でおさらいしてみましょう。

まず,約数から。

1 の約数は,1
2 の約数は,1, 2
3 の約数は,1, 3
4 の約数は,1, 2, 4
5 の約数は,1, 5
6 の約数は,1, 2, 3, 6

でしたね。

次に最大公約数を考えます。たとえば

2 と 4 の最大公約数は 2
3 と 4 の最大公約数は 1
3 と 6 の最大公約数は 3

こうして組み合わせを考えると,最大公約数が 3 となるのは 3 と 6 の組み合わせです。

ちなみに,3 と 5 と 6 の組み合わせだと,最大公約数は 1 です。

つまり,最大公約数が 3 となる場合とは,さいころのすべての数が 3 または 6 である場合のことです。

ただし,すべて 6 だと最大公約数は 6 になってしまうので,すべて 6 の場合を除くことを忘れずに。

さいころを振って 3 または 6 が出る確率は,$\cfrac{2}{6}$

6 が出る確率は $\cfrac{1}{6}$

したがって,求める確率は

$\Big(\cfrac{2}{6}\Big)^n-\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^n=\cfrac{2^n-1^n}{6^n}$
$=\cfrac{2^n-1}{6^n}$ (答え)

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余事象を用いる

(2) に進みます。

最大公約数が 1 になる場合を考えると,多くの組み合わせが考えられます。反対に言えば,最大公約数が 1 以外になる場合の方が少ないということです。

そこで,余事象を使って,最大公約数が 1 以外の場合を考えてみます。

(i) 最大公約数が 2 のとき

さいころの目はすべて 2,4,6 のいずれかである。ただし,すべて 4 の場合とすべて 6 の場合を除く。

したがって

$\Big(\cfrac{3}{6}\Big)^n-\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^n\times2=\cfrac{3^n-2}{6^n}$

(ii) 最大公約数が 3 のとき

これは(1)で求めた。

(iii) 最大公約数が 4 のとき

さいころの目がすべて 4 のとき,最大公約数は 4 になる。よって,確率は

$\cfrac{1}{6^n}$

(iv) 最大公約数が 5 のとき

(iii)と同様に $\cfrac{1}{6^n}$

(v) 最大公約数が 6 のとき

(iii)と同様に $\cfrac{1}{6^n}$

したがって,求める確率は

$1-\cfrac{3^n-2}{6^n}-\cfrac{2^n-1}{6^n}-\cfrac{1}{6^n}\times3$
$=\cfrac{6^n-3^n+2-2^n+1-3}{6^n}$
$=\cfrac{6^n-3^n-2^n}{6^n}$ (答え)

最小公倍数の考え方

(3)に進みます。

最小公倍数も,あんまり分かってないかも。

最小公倍数が 20 ということは,それぞれの数の倍数に 20 が含まれるということです。

たとえば

2 の倍数は $2,4,6,8,10,\cdots,20,\cdots$
5 の倍数は $5,10,15,20,\cdots$

となり,2 と 5 の公倍数に 20 が含まれます。ただし,この場合,最小公倍数は 20 ではなく 10 であることに注意してください。

反対に,倍数に 20 を含まないもの,と言われたら 3 と 6 です。

数をいくつも並べていくとき,その中に 1 つでも 3 か 6 があると,最小公倍数は 20 になりません。つまり,すべての数は 1, 2, 4, 5 のいずれかでなければなりません。

その確率は $\Big(\cfrac{4}{6}\Big)^n$ です。

この中には,すべて 1 の場合や,1, 2 だけで 4, 5 を含まない場合なども含まれていることに注意してください。

つまり,この中には最小公倍数が 20 にならない場合が含まれます。

2, 5 のときもですね。

たとえば,数が 5 個あったとして

1, 2, 2, 5, 5

のとき,最小公倍数は 10 です。

このようにして考えていくと,数の中に 4 と 5 が 1 個以上必要であることが分かります。これは $\Big(\cfrac{4}{6}\Big)^n$ に含まれます。

反対に言えば,$\Big(\cfrac{4}{6}\Big)^n$ の中にある不要なものを取り除けばよい,ということになります。

(i) すべて 1, 2, 4 のとき

$\Big(\cfrac{3}{6}\Big)^n$

ただし,この中には 1, 2 だけの場合も含まれることに注意してください。

(ii) すべて 1, 2, 5 のとき

$\Big(\cfrac{3}{6}\Big)^n$

同様に,この中には 1, 2 だけの場合が含まれます。

このまま引き算すると,1, 2 だけの場合を 2 度引くことになるので,最後にこれを足しましょう。

したがって,求める確率は

$\Big(\cfrac{4}{6}\Big)^n-\Big(\cfrac{3}{6}\Big)^n-\Big(\cfrac{3}{6}\Big)^n+\Big(\cfrac{2}{6}\Big)^n$
$=\cfrac{4^n-2\cdot3^n+2^n}{6^n}$ (答え)

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