数IAIIB神戸大高校数学の解法

神戸大2015文系第1問 任意の点を通る直線の式・二次関数の最小値(基本レベル)

$s,t$ を $s<t$ をみたす実数とする。座標平面上の 3 点 A$(1,2)$,B$(s,s^2)$,C$(t,t^2)$ が一直線上にあるとする。以下の問に答えよ。

(1) $s$ と $t$ の間の関係式を求めよ。

(2) 線分 BC の中点を M$(u,v)$ とする。$u$ と $v$ の間の関係式を求めよ。

(3) $s,t$ が変化するとき,$v$ の最小値と,そのときの $u,s,t$ の値を求めよ。

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直線の式

(1)から始めます。

点 $(x_1,y_1)$ を通り,傾きが $m$ の直線の方程式は

$y-y_1=m(x-x_1)$

直線の傾きは $\cfrac{y\textsf{の変化量}}{x\textsf{の変化量}}$ で求めます。B と C の座標から $x$ の変化量は $t-s$,$y$ の変化量は $t^2-s^2$ となります。よって,傾きは $\cfrac{t^2-s^2}{t-s}$ です。

$(s,s^2)$ を通り,傾き $\cfrac{t^2-s^2}{t-s}$ の直線の式は

$y-s^2=\cfrac{t^2-s^2}{t-s}(x-s)$
$y-s^2=\cfrac{(t+s)\cancel{(t-s)}}{\cancel{t-s}}(x-s)$
$y-s^2=(t+s)(x-s)$

これが $(1,2)$ を通るので

$2-s^2=(t+s)(1-s)$

もう少し式を整理して答えとします。

$2-s^2=t-st+s-s^2$
$2=s+t-st$ (答え)

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中点を求める

(2)に進みます。

まずは,中点の座標を求めましょう。

$(u,v)=\Big(\cfrac{s+t}{2},\cfrac{s^2+t^2}{2}\Big)$

式を変形して

$s+t=2u$ ・・・①
$s^2+t^2=2v$ ・・・②

②をさらに変形します。

$(s+t)^2-2st=2v$ ・・・③

なんでこうなるの?

展開すると分かるけど,
$(s+t)^2-2st$
$=s^2+2st+t^2-2st$
$=s^2+t^2$
となって,②に戻る。$2st$ を引いてつじつまを合わせてるの。

(1)より

$2=s+t-st$
$st=s+t-2$ ・・・④

となるので,①と④を③に代入すると

$(2u)^2-2(s+t-2)=2v$
$4u^2-2(2u-2)=2v$
$4u^2-4u+4=2v$
$v=2u^2-2u+2$ (答え)

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平方完成して最小値を求める

(3)に進みます。

$v=2u^2-2u+2$

平方完成して最小値を求めましょう。

$v=2(u^2-u)+2$
$=2\Big(u-\cfrac{1}{2}\Big)^2-\cfrac{1}{2}+2$
$=2\Big(u-\cfrac{1}{2}\Big)^2-\cfrac{3}{2}$

よって,$v$ は $u=\cfrac{1}{2}$ のとき最小値 $\cfrac{3}{2}$ をとる。(答え)

$u=\cfrac{1}{2}$ のとき

①に代入して

$s+t=1$ ・・・⑤

$v=\cfrac{3}{2}$ を②に代入して

$s^2+t^2=3$ ・・・⑥

⑤より

$t=1-s$

⑥に代入して

$s^2+(1-s)^2=3$
$s^2+1-2s+s^2=3$
$2s^2-2s-2=0$
$s^2-s-1=0$
$s=\cfrac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}$
$=\cfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$

$s=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ のとき

$t=1-\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
$=\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}$

問題文より $s<t$ でした。よって,不適です。

$s=\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ のとき

$t=1-\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}$
$=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

よって,適する。したがって

$(s,t)=\Big(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2},\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)$ (答え)

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