数III 高校数学の解法

【数III複素数平面】グラフ上の解の位置関係がポイント-二次方程式の虚数解と複素数平面(九州大2021)

$\theta$ を $0<\theta<\cfrac{\pi}{4}$ を満たす定数とし,$x$ の 2 次方程式

$x^2-(4\cos\theta)x+\cfrac{1}{\tan\theta}=0$ ・・・(*)

を考える。以下の問いに答えよ。(九州大2021)

(1) 2 次方程式(*)が実数解をもたないような $\theta$ の範囲を求めよ。

(2) $\theta$ が(1)で求めた範囲にあるとし,(*)の 2 つの虚数解を $\alpha,\beta$ とする。ただし,$\alpha$ の虚部は $\beta$ の虚部より大きいとする。複素数平面上の 3 点 A($\alpha$),B($\beta$),O(0) を通る円の中心を C($\gamma$) とするとき,$\theta$ を用いて $\gamma$ を表せ。

(3) 点 O,A,C を(2)のように定めるとき,三角形 OAC が直角三角形になるような $\theta$ に対する $\tan\theta$ の値を求めよ。

複素数平面に二次関数描く感じ?

いや,そうじゃない。例えば,$x^2-2x+3=0$ の解って $x=1\pm\sqrt{2}i$ だから,これを $\alpha=1+\sqrt{2}i$,$\beta=1-\sqrt{2}i$ として,複素数平面上の点とするってこと。

二次関数のグラフじゃないんだ。

そうそう。$x$ の値が変化するというより,方程式の解に含まれる $\theta$ が変化して点が動いていくイメージで捉えると良い。

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判別式を用いて虚数解の条件を考える

(1)から考えていきます。

方程式が実数解を持たないということは,判別式 $D<0$ です。

$x^2-(4\cos\theta)x+\cfrac{1}{\tan\theta}=0$ ・・・(*)

より

$\cfrac{D}{4}=4\cos^2\theta-\cfrac{1}{\tan\theta}<0$
$4\cos^2\theta<\cfrac{1}{\tan\theta}$
$4\cos^2\theta\tan\theta<1$
$4\cos^2\theta\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}<1$
$4\sin\theta\cos\theta<1$
$2\sin\theta\cos\theta<\cfrac{1}{2}$

二倍角の公式 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ より

$\sin2\theta<\cfrac{1}{2}$
$0<2\theta<\cfrac{\pi}{6}$
$0<\theta<\cfrac{\pi}{12}$ (答え)

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共役な複素数の位置関係を考える

(2)に進みます。

二次関数の解の一つが複素数であるとき,その共役な複素数も解になります。これを複素数平面上に表すと

グラフを描いてみると,円の中心 C は $x$ 軸上にあることが分かります。つまり,$\gamma$ は実数です。

実際に描いてみると,円の中心の条件が見えてくる。

また,線分 OC と AC は円の半径だから,同じ長さです。

$|\alpha-\gamma|=|\gamma|$

両辺を 2 乗して

$|\alpha-\gamma|^2=|\gamma|^2$

公式 $z\bar{z}=|z|^2$ より

$(\alpha-\gamma)(\overline{\alpha-\gamma})=\gamma\bar{\gamma}$
$(\alpha-\gamma)(\bar{\alpha}-\bar{\gamma})=\gamma\bar{\gamma}$

左辺を展開して

$\alpha\bar{\alpha}-\alpha\bar{\gamma}-\bar{\alpha}\gamma+\gamma\bar{\gamma}=\gamma\bar{\gamma}$
$\alpha\bar{\alpha}-\alpha\bar{\gamma}-\bar{\alpha}\gamma=0$

$\alpha$ の共役な複素数は $\beta$ だから,$\bar{\alpha}=\beta$ が成り立ちます。

グラフを見たら分かるけど,共役な複素数って $x$ 軸対称な点ということだよね。

また,$\gamma$ は実数だから,$\gamma=\bar{\gamma}$ が成り立ちます。

$\alpha\beta-\alpha\gamma-\beta\gamma=0$
$\gamma(\alpha+\beta)=\alpha\beta$

ここで,$\alpha$,$\beta$ は二次方程式の虚数解であったことを思い出しましょう。式に解の和と積があるので,解と係数の関係がひらめいたら答えが出ます。

解と係数の関係より

$\alpha+\beta=4\cos\theta$
$\alpha\beta=\cfrac{1}{\tan\theta}$

式に代入して

$\gamma\cdot4\cos\theta=\cfrac{1}{\tan\theta}$
$\gamma\cdot4\cos\theta=\cfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$
$\gamma=\cfrac{1}{4\sin\theta}$ (答え)

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二次方程式の虚数解を実部と虚部に分ける

(3)に進みます。

直角三角形は 3 つのパターンを考えることができますが,∠OCA = 90° のときだけ直角三角形を作ることができます。

∠OAC を直角にすると,A,O,B が一直線に並ぶので A,O,B を通る円を作ることができません。また,OC は円の半径だから,∠OAC は必ず 90° 未満となります。

ここで,2 次方程式の解の公式

$x=\cfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$
$=-\cfrac{b}{2a}\pm\cfrac{\sqrt{D}}{2a}$

より,$D<0$ なら $-\cfrac{b}{2a}$ が複素数の実部,$\pm\cfrac{\sqrt{D}}{2a}$ が虚部となることが分かります。

よって,(*)から OC = $2\cos\theta$ となります。また,OC の長さが $\gamma$ だから,(2)より

$2\cos\theta=\cfrac{1}{4\sin\theta}$

が成り立ちます。

$2\sin\theta\cos\theta=\cfrac{1}{4}$
$\sin2\theta=\cfrac{1}{4}$

これをもとに $\tan\theta$ を求めます。

両辺を 2 乗して

$\sin^22\theta=\cfrac{1}{16}$
$1-\cos^22\theta=\cfrac{1}{16}$
$\cos^22\theta=\cfrac{15}{16}$

$0<\theta<\cfrac{\pi}{12}$ より,$\cos 2\theta\geqq0$ だから

$\cos2\theta=\cfrac{\sqrt{15}}{4}$

半角の公式 $\cos^2 x=\cfrac{1+\cos2x}{2}$ より

$\cos^2\theta=\cfrac{1+\cfrac{\sqrt{15}}{4}}{2}$
$=\cfrac{4+\sqrt{15}}{8}$

三角比の公式 $1+\tan^2x=\cfrac{1}{\cos^2x}$ より

$1+\tan^2\theta=\cfrac{8}{4+\sqrt{15}}$
$\tan^2\theta=\cfrac{8}{4+\sqrt{15}}-1$
$=\cfrac{8-4-\sqrt{15}}{4+\sqrt{15}}$
$=\cfrac{4-\sqrt{15}}{4+\sqrt{15}}$

分母を有理化して

$=\cfrac{(4-\sqrt{15})^2}{(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})}$
$=\cfrac{(4-\sqrt{15})^2}{16-15}$
$=(4-\sqrt{15})^2$

$0<\theta<\cfrac{\pi}{12}$ より $\tan\theta>0$ だから

$\tan\theta=4-\sqrt{15}$ (答え)

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