【数III複素数平面】グラフ上の解の位置関係がポイント－二次方程式の虚数解と複素数平面(九州大2021理系第2問)

$\theta$ を $0<\theta<\cfrac{\pi}{4}$ を満たす定数とし，$x$ の 2 次方程式

$x^2-(4\cos\theta)x+\cfrac{1}{\tan\theta}=0$ ・・・(＊)

を考える。以下の問いに答えよ。(九州大2021)

(1) 2 次方程式(*)が実数解をもたないような $\theta$ の範囲を求めよ。

(2) $\theta$ が(1)で求めた範囲にあるとし，(*)の 2 つの虚数解を $\alpha,\beta$ とする。ただし，$\alpha$ の虚部は $\beta$ の虚部より大きいとする。複素数平面上の 3 点 A($\alpha$)，B($\beta$)，O(0) を通る円の中心を C($\gamma$) とするとき，$\theta$ を用いて $\gamma$ を表せ。

(3) 点 O，A，C を(2)のように定めるとき，三角形 OAC が直角三角形になるような $\theta$ に対する $\tan\theta$ の値を求めよ。

判別式を用いて虚数解の条件を考える

(1)から考えていきます。

方程式が実数解を持たないということは，判別式 $D<0$ です。

$x^2-(4\cos\theta)x+\cfrac{1}{\tan\theta}=0$ ・・・(＊)

より

$\cfrac{D}{4}=4\cos^2\theta-\cfrac{1}{\tan\theta}<0$
$4\cos^2\theta<\cfrac{1}{\tan\theta}$
$4\cos^2\theta\tan\theta<1$
$4\cos^2\theta\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}<1$
$4\sin\theta\cos\theta<1$
$2\sin\theta\cos\theta<\cfrac{1}{2}$

二倍角の公式 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ より

$\sin2\theta<\cfrac{1}{2}$
$0<2\theta<\cfrac{\pi}{6}$
$0<\theta<\cfrac{\pi}{12}$　（答え）

共役な複素数の位置関係を考える

(2)に進みます。

二次関数の解の一つが複素数であるとき，その共役な複素数も解になります。これを複素数平面上に表すと

グラフを描いてみると，円の中心 C は $x$ 軸上にあることが分かります。つまり，$\gamma$ は実数です。

また，線分 OC と AC は円の半径だから，同じ長さです。

$|\alpha-\gamma|=|\gamma|$

両辺を 2 乗して

$|\alpha-\gamma|^2=|\gamma|^2$

公式 $z\bar{z}=|z|^2$ より

$(\alpha-\gamma)(\overline{\alpha-\gamma})=\gamma\bar{\gamma}$
$(\alpha-\gamma)(\bar{\alpha}-\bar{\gamma})=\gamma\bar{\gamma}$

左辺を展開して

$\alpha\bar{\alpha}-\alpha\bar{\gamma}-\bar{\alpha}\gamma+\gamma\bar{\gamma}=\gamma\bar{\gamma}$
$\alpha\bar{\alpha}-\alpha\bar{\gamma}-\bar{\alpha}\gamma=0$

$\alpha$ の共役な複素数は $\beta$ だから，$\bar{\alpha}=\beta$ が成り立ちます。

また，$\gamma$ は実数だから，$\gamma=\bar{\gamma}$ が成り立ちます。

$\alpha\beta-\alpha\gamma-\beta\gamma=0$
$\gamma(\alpha+\beta)=\alpha\beta$

ここで，$\alpha$，$\beta$ は二次方程式の虚数解であったことを思い出しましょう。式に解の和と積があるので，解と係数の関係がひらめいたら答えが出ます。

解と係数の関係より

$\alpha+\beta=4\cos\theta$
$\alpha\beta=\cfrac{1}{\tan\theta}$

式に代入して

$\gamma\cdot4\cos\theta=\cfrac{1}{\tan\theta}$
$\gamma\cdot4\cos\theta=\cfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$
$\gamma=\cfrac{1}{4\sin\theta}$ (答え)

二次方程式の虚数解を実部と虚部に分ける

(3)に進みます。

直角三角形は 3 つのパターンを考えることができますが，∠OCA ＝ 90° のときだけ直角三角形を作ることができます。

∠OAC を直角にすると，A，O，B が一直線に並ぶので A，O，B を通る円を作ることができません。また，OC は円の半径だから，∠OAC は必ず 90° 未満となります。

ここで，2 次方程式の解の公式

$x=\cfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$
$=-\cfrac{b}{2a}\pm\cfrac{\sqrt{D}}{2a}$

より，$D<0$ なら $-\cfrac{b}{2a}$ が複素数の実部，$\pm\cfrac{\sqrt{D}}{2a}$ が虚部となることが分かります。

よって，(*)から OC ＝ $2\cos\theta$ となります。また，OC の長さが $\gamma$ だから，(2)より

$2\cos\theta=\cfrac{1}{4\sin\theta}$

が成り立ちます。

$2\sin\theta\cos\theta=\cfrac{1}{4}$
$\sin2\theta=\cfrac{1}{4}$

これをもとに $\tan\theta$ を求めます。

両辺を 2 乗して

$\sin^22\theta=\cfrac{1}{16}$
$1-\cos^22\theta=\cfrac{1}{16}$
$\cos^22\theta=\cfrac{15}{16}$

$0<\theta<\cfrac{\pi}{12}$ より，$\cos 2\theta\geqq0$ だから

$\cos2\theta=\cfrac{\sqrt{15}}{4}$

半角の公式 $\cos^2 x=\cfrac{1+\cos2x}{2}$ より

$\cos^2\theta=\cfrac{1+\cfrac{\sqrt{15}}{4}}{2}$
$=\cfrac{4+\sqrt{15}}{8}$

三角比の公式 $1+\tan^2x=\cfrac{1}{\cos^2x}$ より

$1+\tan^2\theta=\cfrac{8}{4+\sqrt{15}}$
$\tan^2\theta=\cfrac{8}{4+\sqrt{15}}-1$
$=\cfrac{8-4-\sqrt{15}}{4+\sqrt{15}}$
$=\cfrac{4-\sqrt{15}}{4+\sqrt{15}}$

分母を有理化して

$=\cfrac{(4-\sqrt{15})^2}{(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})}$
$=\cfrac{(4-\sqrt{15})^2}{16-15}$
$=(4-\sqrt{15})^2$

$0<\theta<\cfrac{\pi}{12}$ より $\tan\theta>0$ だから

$\tan\theta=4-\sqrt{15}$ (答え)