数IAIIB 高校数学の解法

【数A図形の性質】三角形内の内分点をチェバ・メネラウスを使って求める(九州大)

$t$ を $0<t<1$ を満たす実数とする。面積が $1$ である三角形 ABC において、辺 AB, BC, CA をそれぞれ $2:1,t:1-t,1:3$ に内分する点を D,E,F とする。また、AE と BF, BF と CD,CD と AE の交点をそれぞれ P,Q,R とする。このとき以下の問いに答えよ。(九州大2016)

(1) 3 直線 AE,BF,CD が 1 点で交わるときの $t$ の値 $t_0$ を求めよ。
以下、$t$ は $0<t<t_0$ を満たすものとする。
(2) AP$=k$AE, CR$=\ell$CD を満たす実数 $k,\ell$ をそれぞれ求めよ。
(3) 三角形 BCQ の面積を求めよ。
(4) 三角形 PQR の面積を求めよ。


図で表すとこのようになります。

こういう問題はベクトルを使って三角形内の内分点を求めていくことが多いし、実際この問題もそのやり方で解ける。でも今回はこれをチェバ・メネラウスの定理を使って解いていくよ。

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チェバ・メネラウスの定理

三角形の各頂点を通る直線について、次の定理が成り立ちます。

チェバの定理
メネラウスの定理

それぞれ注意点があります。

チェバが使えない場合

メネラウスが使えない場合

以上の点に注意して、チェバ・メネラウスの定理が使えるかどうか判断しましょう。

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チェバの定理を使う

(1) から解いていきましょう。直線が 1 点で交わるということは図で表すとこのようになります。

チェバが使えるわけか。

チェバの定理より
$\displaystyle\frac{2}{1}\times\frac{t}{1-t}\times\frac{1}{3}=1$
$\displaystyle\frac{t}{1-t}=\frac{3}{2}$
$2t=3(1-t)$
$2t=3-3t$
$5t=3$
$\displaystyle t=\frac{3}{5}$
よって $\displaystyle t_0=\frac{3}{5}$(答え)

メネラウスの定理を使う

(2) に進みます。

AP$=k$AE の $k$ を求めましょう。

オレンジの部分でメネラウスが使える。形が見えるようになるには多少訓練が必要だから練習してね。

メネラウスの定理より、点 A からスタートして
$\displaystyle \frac{3}{1}\times\frac{1}{1-t}\times\frac{1-k}{k}=1$
$\displaystyle k=\frac{3}{t+3}$(答え)

次に CR$=\ell$CD から $\ell$ を求めます。

今度はこんな感じでネメラウス。

先生。メネラウスですよ。

点 C からスタートして
$\displaystyle \frac{1-t}{t}\times\frac{3}{2}\times\frac{1-\ell}{\ell}=1$
$\displaystyle \ell=\frac{3t-3}{t-3}$(答え)

メネラウスの定理を使って面積を求める

(3) に進みます。
点 Q が出てくるので、同様に BQ$=m$BF として $m$ を求めておきましょう。

見つけるのに少し苦労するかも。こんな感じでメメラウス。

先生、メネラウスですよ。

点 B をスタート地点にして
$\displaystyle \frac{1}{2}\times\frac{4}{1}\times\frac{1-m}{m}=1$
$\displaystyle m=\frac{2}{3}$
よって、BQ : QF = 2 : 1 ということが分かります。

あとは底辺の比で三角形の面積を分割していきましょう。
△BCF $\displaystyle =1\times\frac{1}{4}$
△BCQ $=$ △BCF $\displaystyle\times\frac{2}{3}$
従って
△BCQ $\displaystyle =1\times\frac{1}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$(答え)

三角形の面積を引き算する

(4) に進みます。

考え方としては、三角形全体の面積から △PQR の周りにある 3 つの三角形の面積を引くことで求めます。

△BCQ の面積は (3) で求めたので、次に △CAR を求めます。△BCQ を求めたときと同様に
△CAR $\displaystyle =1\times\frac{2}{3}\times\ell$
$\displaystyle =\frac{2}{3}\times\frac{3t-3}{t-3}=\frac{2t-2}{t-3}$
また、△ABP を求めると
△ABP $\displaystyle =1\times t\times k=t\times\frac{3t-3}{t-3}=\frac{2t-2}{t-3}$
よって
△PQR $\displaystyle =1-\frac{1}{6}-\frac{2t-2}{t-3}-\frac{3t}{t+3}$

あとは途中式省くけど、通分しながらまとめていく。計算ミスに注意してね。

△PQR $\displaystyle =\frac{-25t^2+30t-9}{6(t+3)(t-3)}$(答え)

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