【数IA】n 進法の仕組みと計算のやり方（基礎から）
$n$ 進法の計算が分かりません。
国公立二次試験ではあんまりやらないけど，センター・共通テでは必要な知識だからおさらいしたほうがいいだろうね。
10 進法
まず 10 進法から。10 進法は普段使っている数で 1，2，3，・・・と数えていって 10 になったらケタが一つ上がる。
また，たとえば 1203 っていう数があったら次のような計算が成り立つよね。
$1\times10^3+2\times10^2+0\times10^1+3\times10^0=1203$
1203 っていう数は 1000 のかたまりが 1 つ，100 のかたまりが 2 つ，1 のかたまりが 3 つでできていると言える。
$n$ 進法だと 10 のナントカ乗が変わるんですよね？
そういうこと。その前にもうちょっと 10 進法の話を続けるよ。今度は小数の場合。たとえば 123.45 という数があったら各数字の位はこうなる。
$\begin{matrix}1&2&3.&4&5\\10^2&10^1&10^0&\cfrac{1}{10^1}&\cfrac{1}{10^2}&\text{の位}\end{matrix}$
小数のところ分数でしたね。
そうそう。忘れやすいところだから注意。
あともう一つ。もし 123 を 10 倍したらどうなる？
1230。
だよね。10 進法では 10 倍するとケタが一つ繰り上がる。じゃあ 5 進法なら？
5 倍したら繰り上がりですか？
正解。たとえば $1_{(5)}$ を 5 倍すると $10_{(5)}$ になる。この話あとで出てくるから覚えておいて。
3 進法の数を 10 進法で表す
次に 3 進法。3 進法は 3 でケタが上がる。1，2 と数えてその次は 10。そのあと 11，12，100 となる。
2 の次が 10 って気持ち悪い感じ。
慣れの問題。ためしに 3 進法の数 $120_{(3)}$ を 10 進法になおしてみようか。
$\begin{matrix}1&2&0\\3^2&3^1&3^0&\text{の位}\end{matrix}$
3 進法だと 3 のナントカ乗か。
$1\times3^2+2\times3^1+0\times3^0=9+6+0=15$
$120_{(3)}$ は $3^2=9$ のかたまりが 1 つ，$3^1=3$ のかたまりが 2 つ，$3^0=1$ のかたまりが 0 でできているということ。
ケタごとにかたまり作っていけばいいんですね。
小数でもやり方いっしょ。たとえば，$1.02_{(3)}$ なら
$1\times3^1+0\times\cfrac{1}{3^1}+2\times\cfrac{1}{3^2}$
$=3+\cfrac{2}{9}=\cfrac{27+2}{9}=\cfrac{29}{9}$
なるほど。
そしてこれの逆をやれば 10 進法の数を 3 進法になおせる。
10 進法の数を 3 進法であらわす
たとえば 10 進法の 68 を 3 進法であらわしてみようか。
3 進法になおすときは上のケタからいく。考えてみると分かるけど $3^4=81$ だから $3^4$ の位は必要ないよね。
$81=1000_{(3)}$ か。
次に $3^3=27$ で 68 はそれより大きな数だから $3^3$ の位は 0 じゃない。$3^3$ の位の値は商とあまりを使って求める。
$68\div3^3=68\div27=2\cdots14$
つまり 68 には $3^3$ のかたまりが 2 つ入る。だから $3^3$ の位は 2。そしてあまりをその下のケタにあてはめていく。
$14\div3^2=14\div9=1\cdots5$
$3^2$ の位は 1 ですね。
$5\div3^1=1\cdots2$
これで $3^1$ の位が 1，$3^0$ の位が 2 ということが分かる。答えは
$68=2112_{(3)}$
小数を 2 進法になおす
最後に小数の場合を考えてみる。10 進法の 0.3125 を 2 進法であらわしてみる。
やり方全然想像つかない。
最初の話思い出して。10 進法の数は 10 倍すると 1 ケタ繰り上がる。2 進法なら 2 倍すれば 1 ケタ繰り上がる。
はあ。
たとえば $0.1_{(2)}$ を 2 倍すると $1.0_{(2)}$。これを 10 進法で考えてみる。2 進法の小数第 1 位は $\cfrac{1}{2^1}$ の位だから $0.1_{(2)}=1\times\cfrac{1}{2^1}=0.5$ になる。これを 2 倍すると $0.5\times2=1$。これは 2 進法でも $1_{(2)}$ だから，10 進法で 2 倍しても 2 進法になおしたらちゃんと 1 ケタ繰り上がってるよね。
確かに。
こうやって 2 倍してやることで，小数部分の 1 ケタが整数となって出てくるから，それを使って 1 ケタずつ求めていく。
$0.3125\times2=0.625$
整数部分が 0 だから小数第 1 位は 0 であることが分かる。さらに 2 倍すると
$0.625\times2=1.25$
整数部分が 1 だから小数第 2 位は 1。そして次のケタを求めるけど，整数部分の 1 はもう必要ないから 0.25 を 2 倍すればよい。
$0.25\times2=0.5$
小数第 3 位は 0。
$0.5\times2=1$
よって，$0.3125=0.0101_{(2)}$
小数になると結構面倒くさいですね。
ちょっと小細工必要だよね。ここはやり方覚えていくしかない。
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