数III 高校数学の解法

【数III微分積分】関数の絶対値の積分(北海道大2017)

関数 $f(x)=1+\sin x-x\cos x$ について,以下の問いに答えよ。(北海道大2017)

(1) $f(x)$ の $0\leqq x\leqq 2\pi$ における増減を調べ,最大値と最小値を求めよ。

(2) $f(x)$ の不定積分を求めよ。

(3) 次の定積分の値を求めよ。

$\displaystyle\int_0^{2\pi}|f(x)|dx$

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増減表を作る

(1)から始めます。

ここは,素直に微分して増減表を作っていきましょう。$x\cos x$ の部分は積の微分の公式を使います。

積の微分$\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

$f'(x)=\cos x-\{x’\cos x+x(\cos x)’\}$
$=\cos x-\cos+x\sin x$
$=x\sin x$

$x\sin x=0$ のとき
$x=0$ または $\sin x=0$

$\sin x=0$ のとき,$0\leqq x\leqq 2\pi$ に注意して
$x=0,\pi,2\pi$

増減表は

$\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline x&0&\cdots&\pi&\cdots&2\pi\\\hline f'(x)&0&+&0&-&0\\\hline f(x)&1&\nearrow&1+\pi&\searrow&1-2\pi\\\hline\end{array}$

$f(0)=1+\sin0-0\cos0=1$
$f(\pi)=1+\sin\pi-\pi\cos\pi$
$=1+0+\pi=1+\pi$
$f(2\pi)=1+\sin2\pi-2\pi\cos2\pi$
$=1+0-2\pi\cdot1=1-2\pi$

(答え)

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三角関数の不定積分

(2)に進みます。

今度は積分ですが,$x\cos x$ の部分は部分積分を用います。

部分積分法
$\displaystyle \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$

$x\cos x$ の部分について積分してみましょう。

$\displaystyle\int x\cos x\enspace dx$
$\displaystyle=\int x(\sin x)’dx$
$\displaystyle=x\sin x-\int x’\sin x\enspace dx$
$\displaystyle=x\sin x-\int\sin x\enspace dx$
$=x\sin x-(-\cos x)$
$=x\sin x+\cos x$

となります。したがって

$F(x)=x-\cos x-x\sin x-\cos x+C$
$=x-x\sin x-2\cos x+C$

($C$は積分定数) (答え)

未知の解を求める

(3)に進みます。

(1)で求めた増減表から,$y=f(x)$ と $y=|f(x)|$ のグラフはこうなります。


実際に試験問題を解いているときは,グラフの形はざっくりしたもので大丈夫です。

気を付けるべき点は,関数が絶対値のとき,$x$ 軸の下の部分をひっくり返すことです。

こうして,実際にグラフを描いてみると積分区間を 2 つに分ける必要があることが分かります。上のグラフでは区間を分ける点をとりあえず $t$ としています。実際に $t$ を求めてみましょう。

$f(t)=1+\sin t-t\cos t=0$ とおく

この方程式解ける?

やってみたけど解けないです。三角関数の合成ですか?

三角関数の合成では解けない。実は合成を行うとき $\sin$ と $\cos$ の係数は定数じゃないとダメ。

先ほどのグラフで考えると $t$ の範囲は,$\pi<t<2\pi$ です。この範囲では,$\sin t$ はマイナスで,$\cos t$ はプラスとマイナスの両方があります。

この方程式は結局,式変形によって解くことができません。しかし,$\pi<t<2\pi$ の範囲でいろいろ数を当てはめてみると $t=\cfrac{3}{2}\pi$ のとき,たまたま式が 0 になることを発見できます。

$f\Big(\cfrac{3}{2}\pi\Big)=1+(-1)-\cfrac{3}{2}\pi\cdot0=0$

よって

$t=\cfrac{3}{2}\pi$

たまたまで解を見つけるってのは意地悪な感じだけど,三角比の性質に対する理解度が高い人ほど解にたどり着く可能性が高いと言える。

おそらくここで出題者が要求していることは,偶然成り立つに過ぎない法則を発見する能力です。

一見するとただの意地悪問題のように思えるかもしれません。しかし,出題者の意図はそれではないと思います。

私たちが何かの問題に取り組むとき,既に分かっている法則だけを利用する限り,その組み合わせによって得られる解のパターンは有限です。しかし,現実の世界ではその有限のパターンの外側に解が存在することがあり得るのです。ノーベル賞を受賞するような科学的発見も,そうした偶然の中から発見されることも多いのです。

$t=\cfrac{3}{2}\pi$ がたまたま発見された結果に過ぎないとしても,方程式が成り立つ限り,それは科学的思考として正当なものであると言えるのです。

(2)の結果を利用して

$\displaystyle S=\int_0^{\large{\frac{3}{2}\pi}}f(x)dx-\int_{\large{\frac{3}{2}\pi}}^{2\pi}f(x)dx$
$\displaystyle=\Big[x-x\sin x-2\cos x\Big]_0^{\large{\frac{3}{2}\pi}}-\big[x-x\sin x-2\cos x\Big]_{\large{\frac{3}{2}\pi}}^{2\pi}$
$=\cfrac{3}{2}\pi-\cfrac{3}{2}\pi(-1)-2\cdot0-0+0\cdot0+2\cdot1-\Big\{2\pi-2\pi\cdot0-2\cdot1-\Big(\cfrac{3}{2}\pi-\cfrac{3}{2}\pi(-1)-2\cdot0\Big)\Big\}$
$=\cfrac{3}{2}\pi+\cfrac{3}{2}\pi+2-2\pi+2+\cfrac{3}{2}\pi+\cfrac{3}{2}\pi$
$=6\pi+4-2\pi$
$=4+4\pi$ (答え)

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