数III 高校数学の解法

【数III複素数平面】z で表された式の絶対値の最大と最小を求める【国公立基本】

(1) 複素数平面上で等式

$$|3z-4i|=2|z-3i|$$

を満たす点 $z$ の全体はどのような図形を表すか答えなさい。
(2) 複素数 $z$ が(1)の等式を満たすとき,$\Big|z+\cfrac{1}{z}+2i\Big|$ の最大値と最小値を求めなさい。また,そのときの $z$ の値をそれぞれ求めなさい。(山口大2019)

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2乗して絶対値を外す

(1)から進めます。

絶対値外すには,とにかく2乗してしまう。

両辺を2乗すると

$|3z-4i|^2=4|z-3i|^2$

ここで,公式 $z\bar{z}=|z|^2$ を使います。

$(3z-4i)(\overline{3z-4i})=4(z-3i)(\overline{z-3i})$
$(3z-4i)(3\bar{z}+4i)=4(z-3i)(\bar{z}+3i)$

展開して

$9z\bar{z}+12iz-12i\bar{z}+16=4(z\bar{z}+3iz-3i\bar{z}+9)$
$9z\bar{z}+12iz-12i\bar{z}+16=4z\bar{z}+12iz-12i\bar{z}+36$
$5z\bar{z}-20=0$
$z\bar{z}=4$
$|z|^2=4$
$|z|=2$

$\pm2$ じゃないの?

左辺は絶対値だから,マイナスになることはない。

したがって

原点を中心とする,半径 $2$ の円 (答え)

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zをx+yiに置き換える

(2)に進みます。

絶対値の最大値と最小値を求めるのですが,$z$ は何らかの複素数を表しているだけなので,このままでは式がどのような値をとるのかさっぱり分かりません。そこで,$z$ を置きかえる必要があります。

置きかえ方は大きく分けると二通りあり,一つは極形式として表す方法,もう一つは $x,y$ を用いる方法です。

① 極形式 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$
② 複素数 $z=x+yi$

どっちがいいの?

ケースバイケース。三角関数使ったほうが式変形が合理的な場合もある。$x+yi$ は計算力で突破するほうで,数I,II でやってきた関数の計算に近い感覚でいけるというメリットがある。もう少し言うと,各大学によって傾向があって,①がオススメのときと②がオススメのときがある。

今回は $x+yi$ で解いてみます。

$k^2=\Big(z+\cfrac{1}{z}+2i\Big)\Big(\overline{z+\cfrac{1}{z}+2i}\Big)$
$=\Big(z+\cfrac{1}{z}+2i\Big)\Big(\bar{z}+\cfrac{1}{\bar{z}}-2i\Big)$
$=z\bar{z}+\cfrac{z}{\bar{z}}-2iz+\cfrac{\bar{z}}{z}+\cfrac{1}{z\bar{z}}-\cfrac{2i}{z}+2i\bar{z}+\cfrac{2i}{\bar{z}}+4$

(1)より $z\bar{z}=4$ だから

$=4+\cfrac{z}{\bar{z}}-2iz+\cfrac{\bar{z}}{z}+\cfrac{1}{4}-\cfrac{2i}{z}+2i\bar{z}+\cfrac{2i}{\bar{z}}+4$
$=\cfrac{z^2+\bar{z}^2-2i\bar{z}+2iz}{z\bar{z}}+2i(\bar{z}-z)+8+\cfrac{1}{4}$
$=\cfrac{z^2+\bar{z}^2-2i\bar{z}+2iz}{4}+2i(\bar{z}-z)+8+\cfrac{1}{4}$

両辺を 4 倍して

$4k^2=z^2+\bar{z}^2-2i(\bar{z}-z)+8i(\bar{z}-z)+32+1$
$4k^2=z^2+\bar{z}^2+6i(\bar{z}-z)+33$

ここで

$(z+\bar{z})^2=z^2+2z\bar{z}+\bar{z}^2$
$=z^2+\bar{z}^2+8$

より

$z^2+\bar{z}^2=(z+\bar{z})^2-8$ 

だから

$4k^2=(z+\bar{z})^2+6i(\bar{z}-z)+25$

$z=x+yi,\bar{z}=x-yi$ とすると

$z+\bar{z}=x+yi+x-yi=2x$
$\bar{z}-z=x-yi-x-yi=-2yi$

となるので

$4k^2=(2x)^2+6i(-2yi)+25$
$=4x^2+12y+25$

また,$z$ は原点を中心とする半径 2 の円だから

$x^2+y^2=4$
$x^2=4-y^2$

が成り立つ。これを代入すると

$4k^2=4(4-y^2)+12y+25$
$=16-4y^2+12y+25$
$=-4y^2+12y+41$

これで,式が整理できました。あとはこの式の最大と最小を求めます。

式を平方完成すると

$4k^2=-4(y^2-3y)+41$
$=-4\Big(y-\cfrac{3}{2}\Big)^2+9+41$
$=-4\Big(y-\cfrac{3}{2}\Big)^2+50$

$x,y$ は原点を中心とする半径 2 の円周上の座標なので,$y$ の取り得る範囲は

$-2$ ≦ $y$ ≦ $2$ 

です。

最大値は $y=-\cfrac{3}{2}$ のとき

$4k^2=50$
$k^2=\cfrac{25}{2}$
$k=\cfrac{5\sqrt{2}}{2}$

$z$ の値を求めると

$x^2+y^2=4$ より

$x^2+\cfrac{9}{4}=4$
$x^2=\cfrac{7}{4}$
$x=\pm\cfrac{\sqrt{7}}{2}$

よって

$z=\pm\cfrac{\sqrt{7}}{2}-\cfrac{3}{2}i$

また,最小値は $y=2$ のとき

$4k^2=-4\Big(2+\cfrac{3}{2}\Big)^2+50$
$4k^2=-49+50=1$
$k^2=\cfrac{1}{4}$
$k=\cfrac{1}{2}$

$z$ を求めると

$x^2+4=4$
$x^2=0$
$x=0$

よって

$z=-2i$

したがって

最大値は $z=\pm\cfrac{\sqrt{7}}{2}-\cfrac{3}{2}i$ のとき $\cfrac{5\sqrt{2}}{2}$
最小値は $z=-2i$ のとき $\cfrac{1}{2}$ (答え)

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