数III 高校数学の解法

【数III関数の極限】lim sin x/x=1 を使って三角関数の極限を求める

今回は,三角関数の極限を求める上で重要な公式を使っていきます。

公式 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin x}{x}=1$

なぜこれが成り立つのかについては説明を省きますが,$y=\cfrac{\sin x}{x}$ のグラフは以下のようになります。ここは,グラフが $x=0$ のところで $y=1$ に収束するイメージを持っておけば良いでしょう。

同時に公式の逆数 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{x}{\sin x}=1$ も覚えておきましょう。最初の公式が成り立つなら
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{x}{\sin x}=\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{1}{\cfrac{\sin x}{x}}=\cfrac{1}{1}=1$
ということが言えます。
これらと同時に $\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{\sin x}{x}=0$ も知っておくと良いでしょう。これははさみうちの原理を使って説明できます。
$-1$ < $\sin x$ < $1$
$-\cfrac{1}{x}$ < $\cfrac{\sin x}{x}$ < $\cfrac{1}{x}$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}-\cfrac{1}{x}=0$,$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{1}{x}=0$
したがって,はさみうちの原理より
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{\sin x}{x}=0$
実際に問題を解いてみましょう。

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sin に合わせて分母をつくる

[問題] $\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{\sin 2x}{x}$

公式と形違いますが。

そこを強引に合わせていく。

$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{\sin 2x}{\color{blue}{2x}}\cdot\cfrac{\color{blue}{2x}}{x}$

$2x$ どうしを約分したらもとの式に戻るよね。

$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{\sin 2x}{2x}\cdot2$
$=1\cdot2=2$ (答え)

こんな感じで,$\sin 2x$ あったらとにかく分母に $2x$ おいてみて,うしろのほうでつじつま合わせする。

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sin に合わせて分子をつくる

[問題] $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin 6x-\sin x}{\sin 5x}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\Big(\cfrac{\sin 6x}{\sin 5x}-\cfrac{\sin x}{\sin 5x}\Big)$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\Big(\cfrac{\sin 6x}{6x}\cdot\cfrac{5x}{\sin 5x}\cdot\cfrac{6x}{5x}-\cfrac{\sin x}{x}\cdot\cfrac{5x}{\sin 5x}\cdot\cfrac{x}{5x}\Big)$
分母に $\sin 5x$ があれば,今度は分子に $5x$ をおいてつじつま合わせをしていきます。

ここも約分したら上の式に戻るってのを確認してから次に進める。

$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\Big(\cfrac{\sin 6x}{6x}\cdot\cfrac{5x}{\sin 5x}\cdot\cfrac{6}{5}-\cfrac{\sin x}{x}\cdot\cfrac{5x}{\sin 5x}\cdot\cfrac{1}{5}\Big)$
$=1\cdot1\cdot\cfrac{6}{5}-1\cdot1\cdot\cfrac{1}{5}$
$=\cfrac{6}{5}-\cfrac{1}{5}=1$ (答え)

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cos を変形する

[問題] $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\cos 3x-1}{x^2}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{-(1-\cos 3x)}{x^2}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{-(1-\cos 3x)(1+\cos 3x)}{x^2(1+\cos 3x)}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{-(1-\cos^2 3x)}{x^2(1+\cos 3x)}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{-\sin^2 3x}{x^2(1+\cos 3x)}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{-\sin^2 3x}{(3x)^2}\cdot\cfrac{(3x)^2}{x^2(1+\cos 3x)}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{-\sin^2 3x}{(3x)^2}\cdot\cfrac{9}{1+\cos 3x}$
$x\rightarrow0$ のとき $\cos 3x\rightarrow1$ に注意して
$=-1^2\cdot\cfrac{9}{1+1}=-\cfrac{9}{2}$ (答え)

tan を変形する

[問題] $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin x-\tan x}{x^3}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin x-\cfrac{\sin x}{\cos x}}{x^3}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin x\Big(1-\cfrac{1}{\cos x}\Big)}{x^3}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin x}{x}\cdot\cfrac{1-\cfrac{1}{\cos x}}{x^2}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin x}{x}\cdot\cfrac{\Big(1-\cfrac{1}{\cos x}\Big)\times\cos x}{x^2\times\cos x}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin x}{x}\cdot\cfrac{\cos x-1}{x^2\cos x}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin x}{x}\cdot\cfrac{-(1-\cos x)}{x^2\cos x}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin x}{x}\cdot\cfrac{-(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2\cos x(1+\cos x)}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin x}{x}\cdot\cfrac{-(1-\cos^2 x)}{x^2\cos x(1+\cos x)}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin x}{x}\cdot\cfrac{-\sin^2 x}{x^2\cos x(1+\cos x)}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin x}{x}\cdot\cfrac{-\sin^2 x}{x^2}\cdot\cfrac{1}{\cos x(1+\cos x)}$
$=1\cdot(-1)\cdot\cfrac{1}{1\cdot(1+1)}$
$=-\cfrac{1}{2}$ (答え)

tan を変形する(2)

[問題] $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\tan(\sin\pi x)}{x}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\space\cfrac{\sin(\sin\pi x)}{\cos(\sin\pi x)}\space}{x}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin(\sin\pi x)}{x\cos(\sin\pi x)}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin(\sin\pi x)}{\sin\pi x}\cdot\cfrac{\sin\pi x}{x\cos(\sin\pi x)}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin(\sin\pi x)}{\sin\pi x}\cdot\cfrac{\sin\pi x}{\pi x}\cdot\cfrac{\pi x}{x\cos(\sin\pi x)}$
$=\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin(\sin\pi x)}{\sin\pi x}\cdot\cfrac{\sin\pi x}{\pi x}\cdot\cfrac{\pi}{\cos(\sin\pi x)}$

公式は $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin x}{x}=1$ だから,同じように $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin(\sin \pi x)}{\sin\pi x}=1$ として大丈夫。

また,$x\rightarrow0$ のとき,$\sin\pi x\rightarrow0$ となり,$\cos(\sin\pi x)\rightarrow\cos 0=1$ となることに注意して
$=1\cdot1\cdot\cfrac{\pi}{1}=\pi$ (答え)

結構,式変形タイヘン。

見た目はタイヘンな感じだけど,$\cfrac{\sin x}{x}$ か $\cfrac{x}{\sin x}$ の形を順番に作っていくイメージでやっていけばちゃんと解ける。がんばって。

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