数III高校数学の解法

【数III極限】部分分数分解を用いて無限級数の和を求める【国公立基本レベル】

(1) 次の無限級数の和を求めよ。
$$\cfrac{1}{1\cdot3}+\cfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\cfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}+\cdots$$
(2) 数列 $\{a_n\}$ を
$a_n=\begin{cases}\cfrac{1}{(n+3)(n+5)}\space(n\text{が奇数のとき})\\\cfrac{-1}{(n+4)(n+6)}\space(n\text{が偶数のとき})\end{cases}$
と定める。このとき,無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ の和を求めよ。(島根2019)

国公立の問題だけど,教科書レベルを復習できるから基本としてチャンレジしてみる。

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部分分数分解が成り立つ仕組み

(1)から進めます。

$\cfrac{1}{1\cdot3}+\cfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\cfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}+\cdots$

まず,分母にかけ算の式がある場合,部分分数分解を考えます。

$\cfrac{1}{1\cdot3}=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{1}{1}-\cfrac{1}{3}\Big)$

なぜ,このような式が成り立つのかは逆に計算してみると分かります。

$\cfrac{1}{1}-\cfrac{1}{3}=\cfrac{3-1}{1\cdot3}$
$=\cfrac{2}{1\cdot3}$

分子を $1$ にするためには,式に $\cfrac{1}{2}$ をかければよいことになります。

$\cfrac{1}{1\cdot3}=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{1}{1}-\cfrac{1}{3}\Big)$

次の項でも同じ。

$\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{5}=\cfrac{5-3}{3\cdot5}=\cfrac{2}{3\cdot5}$

よって

$\cfrac{1}{3\cdot5}=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{5}\Big)$

これを $n$ を使って一般化すると

$\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+2}=\cfrac{n+2-n}{n(n+2)}$
$=\cfrac{2}{n(n+2)}$

したがって

$\cfrac{1}{n(n+2)}=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+2}\Big)$

3と5の差は2だから,$\cfrac{1}{2}$ をかける。もし,分母どうしの差が3なら $\cfrac{1}{3}$ をかけることになる。

式の意味は分かるけど,なんか腑に落ちない感じ。

数学はなぜ?を考えるの大事だけど,考えてもしょうがないときがある。
現実の世界で数学を活用するときには,数の持つ性質を利用して問題を解決していくことになるんだけど,「なぜ」を考えるより,その性質をいかに活用するかってことの方がよっぽど大事なことのほうが多い。
部分分数分解はあくまでたまたま成り立つ法則に過ぎないけど,そのたまたま成り立つ法則が現実に役に立つことがあるって理解しておくといいよ。

よって

$\cfrac{1}{1\cdot3}+\cfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\cfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}+\cdots$
$=\cfrac{1}{2}\Big\{\Big(\cfrac{1}{1}-\cancel{\cfrac{1}{3}}\Big)+\Big(\cancel{\cfrac{1}{3}}-\cancel{\cfrac{1}{5}}\Big)+\cdots+\Big(\cancel{\cfrac{1}{2n-1}}-\cfrac{1}{2n+1}\Big)+\cdots\Big\}$

こういうのを式の対称性と言って,左側に項が一つ残るなら,右側にも項が一つ残るって考える。

したがって

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \cfrac{1}{2}\Big(1-\cfrac{1}{2n+1}\Big)=\cfrac{1}{2}\Big(1-\cfrac{1}{\infty}\Big)$
$=\cfrac{1}{2}(1-0)=\cfrac{1}{2}$ (答え)

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奇数と偶数に分けて考える

(2)に進みます。

式が奇数と偶数に分かれていますが,奇数のときと偶数のときを足し合わせることで対処できます。

(i) 奇数のとき

$\cfrac{1}{(n+3)(n+5)}$

$n+3$ と $n+5$ の差は2です。よって

$=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{1}{n+3}-\cfrac{1}{n+5}\Big)$

奇数の項を足し合わせると

$\cfrac{1}{2}\Big\{\Big(\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{6}\Big)+\Big(\cfrac{1}{6}-\cfrac{1}{8}\Big)+\cdots+\Big(\cfrac{1}{n+3}-\cfrac{1}{n+5}\Big)+\cdots\Big\}$

(ii) 偶数のとき

$\cfrac{1}{(n+4)(n+6)}$

同じようにして

$=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{1}{n+4}-\cfrac{1}{n+6}\Big)$

偶数の項を足し合わせると

$\cfrac{1}{2}\Big\{\Big(\cfrac{1}{6}-\cfrac{1}{8}\Big)+\Big(\cfrac{1}{8}-\cfrac{1}{10}\Big)+\cdots+\Big(\cfrac{1}{n+4}-\cfrac{1}{n+6}\Big)+\cdots\Big\}$

奇数の項と偶数の項を足し合わせると

$a_n=\cfrac{1}{2}\Big\{\Big(\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{6}\Big)+\Big(\cancel{\cfrac{1}{6}}-\cancel{\cfrac{1}{8}}\Big)+\Big(\cancel{\cfrac{1}{6}}-\cancel{\cfrac{1}{8}}\Big)+\Big(\cancel{\cfrac{1}{8}}-\cancel{\cfrac{1}{10}}\Big)+\cdots+\Big(\cancel{\cfrac{1}{n+3}}-\cancel{\cfrac{1}{n+5}}\Big)+\Big(\cfrac{1}{n+4}-\cfrac{1}{n+6}\Big)+\cdots\Big\}$

ここも式の対称性を考えて,最初の2つの項を残すから,最後も2つの項を残せばよい。

したがって

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{\infty+4}-\cfrac{1}{\infty+6}\Big)$
$=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{6}+0-0\Big)$
$=\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{3-2}{12}$
$=\cfrac{1}{24}$ (答え)

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