【数III極限】部分分数分解を用いて無限級数の和を求める【国公立基本レベル】

(1) 次の無限級数の和を求めよ。
$$\cfrac{1}{1\cdot3}+\cfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\cfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}+\cdots$$
(2) 数列 $\{a_n\}$ を
$a_n=\begin{cases}\cfrac{1}{(n+3)(n+5)}\space(n\text{が奇数のとき})\\\cfrac{-1}{(n+4)(n+6)}\space(n\text{が偶数のとき})\end{cases}$
と定める。このとき，無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ の和を求めよ。（島根2019）

部分分数分解が成り立つ仕組み

(1)から進めます。

$\cfrac{1}{1\cdot3}+\cfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\cfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}+\cdots$

まず，分母にかけ算の式がある場合，部分分数分解を考えます。

$\cfrac{1}{1\cdot3}=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{1}{1}-\cfrac{1}{3}\Big)$

なぜ，このような式が成り立つのかは逆に計算してみると分かります。

$\cfrac{1}{1}-\cfrac{1}{3}=\cfrac{3-1}{1\cdot3}$
$=\cfrac{2}{1\cdot3}$

分子を $1$ にするためには，式に $\cfrac{1}{2}$ をかければよいことになります。

$\cfrac{1}{1\cdot3}=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{1}{1}-\cfrac{1}{3}\Big)$

$\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{5}=\cfrac{5-3}{3\cdot5}=\cfrac{2}{3\cdot5}$

よって

$\cfrac{1}{3\cdot5}=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{5}\Big)$

これを $n$ を使って一般化すると

$\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+2}=\cfrac{n+2-n}{n(n+2)}$
$=\cfrac{2}{n(n+2)}$

したがって

$\cfrac{1}{n(n+2)}=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+2}\Big)$

よって

$\cfrac{1}{1\cdot3}+\cfrac{1}{3\cdot5}+\cdots+\cfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}+\cdots$
$=\cfrac{1}{2}\Big\{\Big(\cfrac{1}{1}-\cancel{\cfrac{1}{3}}\Big)+\Big(\cancel{\cfrac{1}{3}}-\cancel{\cfrac{1}{5}}\Big)+\cdots+\Big(\cancel{\cfrac{1}{2n-1}}-\cfrac{1}{2n+1}\Big)+\cdots\Big\}$

したがって

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \cfrac{1}{2}\Big(1-\cfrac{1}{2n+1}\Big)=\cfrac{1}{2}\Big(1-\cfrac{1}{\infty}\Big)$
$=\cfrac{1}{2}(1-0)=\cfrac{1}{2}$ （答え）

奇数と偶数に分けて考える

(2)に進みます。

式が奇数と偶数に分かれていますが，奇数のときと偶数のときを足し合わせることで対処できます。

(i) 奇数のとき

$\cfrac{1}{(n+3)(n+5)}$

$n+3$ と $n+5$ の差は２です。よって

$=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{1}{n+3}-\cfrac{1}{n+5}\Big)$

奇数の項を足し合わせると

$\cfrac{1}{2}\Big\{\Big(\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{6}\Big)+\Big(\cfrac{1}{6}-\cfrac{1}{8}\Big)+\cdots+\Big(\cfrac{1}{n+3}-\cfrac{1}{n+5}\Big)+\cdots\Big\}$

(ii) 偶数のとき

$\cfrac{1}{(n+4)(n+6)}$

同じようにして

$=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{1}{n+4}-\cfrac{1}{n+6}\Big)$

偶数の項を足し合わせると

$\cfrac{1}{2}\Big\{\Big(\cfrac{1}{6}-\cfrac{1}{8}\Big)+\Big(\cfrac{1}{8}-\cfrac{1}{10}\Big)+\cdots+\Big(\cfrac{1}{n+4}-\cfrac{1}{n+6}\Big)+\cdots\Big\}$

奇数の項と偶数の項を足し合わせると

$a_n=\cfrac{1}{2}\Big\{\Big(\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{6}\Big)+\Big(\cancel{\cfrac{1}{6}}-\cancel{\cfrac{1}{8}}\Big)+\Big(\cancel{\cfrac{1}{6}}-\cancel{\cfrac{1}{8}}\Big)+\Big(\cancel{\cfrac{1}{8}}-\cancel{\cfrac{1}{10}}\Big)+\cdots+\Big(\cancel{\cfrac{1}{n+3}}-\cancel{\cfrac{1}{n+5}}\Big)+\Big(\cfrac{1}{n+4}-\cfrac{1}{n+6}\Big)+\cdots\Big\}$

したがって

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{\infty+4}-\cfrac{1}{\infty+6}\Big)$
$=\cfrac{1}{2}\Big(\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{6}+0-0\Big)$
$=\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{3-2}{12}$
$=\cfrac{1}{24}$　（答え）