数III 高校数学の解法

【数III積分】区分求積法の考え方と使い方を整理する

区分求積法の公式は以下のようになります。

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac{\space1\space}{n}\sum_{k=1}^n f\Big(\cfrac{\space k\space}{n}\Big)=\int_0^1 f(x)\space dx$

区分求積法とは,求めたい部分の面積を小さな長方形に分割していく方法です。

長方形をひたすら細かくしていったら,徐々に本来の形に近づいていく。

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長方形の面積を考える

$f(x)=x^2$ を使って考えてみましょう。まずは試しに 5 分割してみます。

一番左の長方形の面積を考えると,底辺が $\cfrac{1}{5}$,高さが $\Big(\cfrac{1}{5}\Big)^2$ です。

2 番目の長方形は,底辺 $\cfrac{1}{5}$,高さ $\Big(\cfrac{2}{5}\Big)^2$ です。

長方形の右側で高さを測る。$x$ 座標が $\cfrac{2}{5}$ だったら,$y$ の値は $\Big(\cfrac{2}{5}\Big)^2$ で,これが長方形の高さ。

これらを足し合わせたものが全体の面積だから

$S=\cfrac{1}{5}\times\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{5}\times\Big(\cfrac{2}{5}\Big)^2+\cfrac{1}{5}\times\Big(\cfrac{3}{5}\Big)^2+\cfrac{1}{5}\times\Big(\cfrac{4}{5}\Big)^2+\cfrac{1}{5}\times\Big(\cfrac{5}{5}\Big)^2$
$=\cfrac{1}{5}\Big\{\cfrac{1}{5}+\Big(\cfrac{2}{5}\Big)^2+\Big(\cfrac{3}{5}\Big)^2+\Big(\cfrac{4}{5}\Big)^2+\Big(\cfrac{5}{5}\Big)^2\Big\}$
$\displaystyle=\cfrac{1}{5}\sum_{k=1}^5\Big(\cfrac{k}{5}\Big)^2$

今度は 5 分割ではなく $n$ 分割してみます。

底辺の長さは?

さっきは,5 分割で $\cfrac{1}{5}$ だったから,$n$ 分割は $\cfrac{1}{n}$ ですか?

そうそう,それで大丈夫。高さは?

$\Big(\cfrac{2}{5}\Big)^2$ とかですよね?

そうね。$x$ の値によって変わるよね。さっきは $x$ が $\cfrac{1}{5}$ ずつ増えていったけど,今度は $\cfrac{1}{n}$ ずつ増える。だから,$x$ は $\cfrac{1}{n},\cfrac{2}{n},\cfrac{3}{n},\cdots,\cfrac{x}{n}$ と変化していくはず。

じゃあ高さは $\Big(\cfrac{x}{n}\Big)^2$ か。

グッジョブです。

よって,面積は

$\displaystyle S=\cfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\Big(\cfrac{k}{n}\Big)^2$

底辺×高さ+底辺×高さ+・・・の式を,底辺×(高さ+高さ+・・・)にまとめているということ。

式を計算すると

$\displaystyle S=\cfrac{1}{n}\cdot\cfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k^2$
$=\cfrac{1}{n^3}\cdot\cfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
$=\cfrac{1}{6n^2}(2n^2+n+2n+1)$
$=\cfrac{1}{6n^2}(2n^2+3n+1)$
$=\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{2n}+\cfrac{1}{6n^2}$

で,話はここからなんだけど,この $n$ をひたすら大きくする,つまり $n$ 分割をめちゃくちゃ細かくしていくとどうなると思う?

$\cfrac{1}{2n}$ とかが $0$ になります。

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{2n}+\cfrac{1}{6n^2}=\cfrac{1}{3}$

つまりこれが求めたい面積。

ちなみに,積分で求めると

$\displaystyle\int_0^1 x^2\space dx=\Big[\cfrac{x^3}{3}\Big]_0^1=\cfrac{1}{3}$

これで答えが正しいことが分かります。

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もう一つの方法で長方形の面積を求める

次に,長方形の左側を高さとして考えるパターンをやります。

こっちもできた方がいいんですか?

できたほうがいい。

まず,一番左の長方形は,底辺の長さ $\cfrac{1}{5}$,高さ $0$ とみなすことができます。したがって,グラフ上には描かれません。

左から2番目は,底辺 $\cfrac{1}{5}$,高さ $\Big(\cfrac{2}{5}\Big)^2$ です。

面積を合計すると

$S=\cfrac{1}{5}\times0+\cfrac{1}{5}\times\Big(\cfrac{2}{5}\Big)^2+\cfrac{1}{5}\times\Big(\cfrac{3}{5}\Big)^2+\cfrac{1}{5}\times\Big(\cfrac{4}{5}\Big)^2$
$=\cfrac{1}{5}\Big\{0+\Big(\cfrac{2}{5}\Big)^2+\Big(\cfrac{3}{5}\Big)^2+\Big(\cfrac{4}{5}\Big)^2\Big\}$
$\displaystyle=\cfrac{1}{5}\sum_{k=0}^4\Big(\cfrac{k}{5}\Big)^2$

となります。

これが 5 分割ではなく,$n$ 分割だとすると

$\displaystyle S=\cfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\Big(\cfrac{k}{n}\Big)^2$

さきほどは,$\displaystyle\sum_{k=1}^n$ だったのが,$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}$ になっているところに注意しましょう。

これを計算すると

$=\displaystyle\cfrac{1}{n}\cdot\cfrac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n-1}k^2$

数列の和の公式は $k=1$ で使えるヤツだから,このままでは使えない。

どうしたらいいんですか?

$k=0$ のとき,$k^2=0$ です。

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}k^2=0^2+1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k^2=1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2$

だから

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} k^2=\sum_{k=1}^{n-1} k^2$

よって

$\displaystyle S=\cfrac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2$

公式使うけど,$\cfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ の $n$ が $n-1$ に代わるところに注意。

$=\cfrac{1}{n^3}\cdot\cfrac{1}{6}(n-1)(n-1+1)\{2(n-1)+1\}$
$=\cfrac{1}{6n^3}(n-1)n(2n-2+1)$
$=\cfrac{1}{6n^2}(n-1)(2n-1)$
$=\cfrac{1}{6n^2}(2n^2+n-2n+1)$
$=\cfrac{1}{6n^2}(2n^2-n+1)$
$=\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{6n}+\cfrac{1}{6n^2}$

これを $n\rightarrow\infty$ とすると

$S=\cfrac{1}{3}$

さきほどと同じ結果になりました。

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はさみうちの原理との関係

こうして二通りの方法で面積を求めたのですが,これらを並べてみると次のような関係があります。

最初に作ったほうの長方形の面積は,もともとものグラフの面積より明らかに大きいし,二番目につくったほうは小さくなる。

これを不等式にすると

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2<\int_0^1 f(x)\space dx<\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac{1}{n^3}\sum_{k=0}^{n-1}k^2$
$\displaystyle\cfrac{1}{3}<\int_0^1 f(x)\space dx<\cfrac{1}{3}$

はさみうちの原理より

$\displaystyle\int_0^1 f(x)\space dx=\cfrac{1}{3}$

このようにはさみうちの原理を用いて積分の答えを導くことができます。

今回は例題なので,普通に積分すれば済むのですが,式が複雑になってそのまま積分をすることが難しいときに,この考え方でうまくいくことがあります。

公式を導く

ここまでやってきたことを公式にしてみましょう。まず,区間は $[0,1]$ とします。これを $n$ 分割すると,長方形の底辺は $\cfrac{1}{n}$ です。

また,$x$ の値は $\cfrac{1}{n},\cfrac{2}{n},\cfrac{3}{n},\cdots,\cfrac{n}{n}$ と変化していきます。そのとき,長方形の高さ $y=f(x)$ は,$f\Big(\cfrac{1}{n}\Big),f\Big(\cfrac{2}{n}\Big),f\Big(\cfrac{3}{n}\Big),\cdots,f\Big(\cfrac{n}{n}\Big)$ と表すことができます。

長方形の面積の合計は

$S=\cfrac{1}{n}\cdot f\Big(\cfrac{1}{n}\Big)+\cfrac{1}{n}\cdot f\Big(\cfrac{2}{n}\Big)+\cfrac{1}{n}\cdot f\Big(\cfrac{3}{n}\Big)+\cdots+\cfrac{1}{n}\cdot f\Big(\cfrac{n}{n}\Big)$
$=\cfrac{1}{n}\Big\{f\Big(\cfrac{1}{n}\Big)+f\Big(\cfrac{2}{n}\Big)+f\Big(\cfrac{3}{n}\Big)+\cdots+f\Big(\cfrac{n}{n}\Big)\Big\}$
$\displaystyle=\cfrac{\space1\space}{n}\sum_{k=1}^n f\Big(\cfrac{\space k\space}{n}\Big)$

$n$ 分割を限りなく細かくしていくと

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac{\space1\space}{n}\sum_{k=1}^n f\Big(\cfrac{\space k\space}{n}\Big)=\int_0^1 f(x)\space dx$

これで公式の完成。

例題にチャレンジ

次の極限値を求めよ。 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\cfrac{n}{k^2+n^2}$

さっきの公式使えるんですか?

使うよ。こうやって $\lim$ と $\sum$ の組合せの式を見たら区分求積法を考えると良い。

んー,公式の使い方が分かりません。似てるけど形違うような。

そうだね。公式ままの形ではない。公式では $\sum$ の前に $\cfrac{1}{n}$ がある。これ,長方形の底辺だったよね。

どうするの?

ムリヤリ $\cfrac{1}{n}$ を作る。ここポイント。

作れるんですか?

公式で,もう一つ見落としてはいけないのは,関数で $\cfrac{k}{n}$ を使ってること。つまり式の中に $\cfrac{k}{n}$ の部分が必要なの。そこから考えていく。

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\cfrac{n}{k^2+n^2}$

式に $k^2$ があるでしょ?これを $\cfrac{k}{n}$ にする。

$n$ で割る,か。

そういうこと。

分子,分母をそれぞれ $n^2$ で割ると

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\cfrac{n}{k^2+n^2}$
$\displaystyle=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\cfrac{\cfrac{n}{n^2}}{\cfrac{k^2}{n^2}+\cfrac{n^2}{n^2}}$
$\displaystyle=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\cfrac{\cfrac{1}{n}}{\Big(\cfrac{k}{n}\Big)^2+1}$
$\displaystyle=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\cfrac{1}{n}\times\cfrac{1}{\Big(\cfrac{k}{n}\Big)^2+1}$
$\displaystyle=\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\cfrac{1}{\Big(\cfrac{k}{n}\Big)^2+1}$

これで公式の形になった。

もう一度公式を確認すると

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac{\space1\space}{n}\sum_{k=1}^n f\Big(\cfrac{\space k\space}{n}\Big)=\int_0^1 f(x)\space dx$

つまり,$\cfrac{k}{n}$ を $x$ にすれば良いということです。したがって

$\displaystyle=\int_0^1 \cfrac{1}{x^2+1}\space dx$

あとはこの積分を解いていきます。

あー,分数メンドイやつ。

置換積分だね。$1+x^2$ の形は $\tan$ で置換。


$x=\tan\theta$ とおくと

$dx=\cfrac{1}{\cos^2\theta}\space d\theta$

また

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c|c}x & 0\rightarrow 1\\\hline \theta & 0\rightarrow\frac{\pi}{4}\end{array}$

よって,与式は

$\displaystyle=\int_0^{\small{\frac{4}{\pi}}} \cfrac{1}{1+\tan^2\theta}\cdot\cfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta$
$\displaystyle=\int_0^{\small{\frac{4}{\pi}}} \cfrac{1}{\cfrac{1}{\cos^2\theta}}\cdot\cfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta$
$\displaystyle=\int_0^{\small{\frac{4}{\pi}}} 1\space d\theta$
$=\Big[\theta\Big]_0^{\small{\frac{\pi}{4}}}=\cfrac{\pi}{4}$ (答え)

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