【数III微分・軌跡】媒介変数を消去して軌跡を求める(北海道大2019理系第3問)

$t$ を $0<t<1$ を満たす実数とする。$0$，$\cfrac{1}{t}$ 以外のすべての実数 $x$ で定義された関数

$f(x)=\cfrac{x+t}{x(1-tx)}$

を考える。（北海道大2019）

(1) $f(x)$ は極大値と極小値を 1 つずつもつことを示せ。
(2) $f(x)$ の極大値を与える $x$ の値を $\alpha$，極小値を与える $x$ の値を $\beta$ とし，座標平面上に 2 点 P$(\alpha,f(\alpha))$，Q$(\beta,f(\beta))$ をとる。 $t$ が $0<t<1$ を満たしながら変化するとき，線分 PQ の中点 M の軌跡を求めよ。

増減表を作って極大値と極小値を示す

(1)から始めます。

問題に取りかかります。極大値と極小値を聞かれているので微分して増減表を作りましょう。

$f(x)=\cfrac{x+t}{x(1-tx)}$

式が分数なので商の導関数の公式を思い出しましょう。

$f'(x)=\cfrac{(x+t)'(x-tx^2)-(x+t)(x-tx^2)’}{\{x(1-tx)\}^2}$
$=\cfrac{x-tx^2-(x+t)(1-2tx)}{\{x(1-tx)\}^2}$
$=\cfrac{x-tx^2-x+2tx^2-t+2t^2x}{\{x(1-tx)\}^2}$
$=\cfrac{tx^2+2t^2x-t}{\{x(1-tx)\}^2}$
$=\cfrac{t(x^2+2tx-1)}{\{x(1-tx)\}^2}$

ここで，分母はつねに正の値をとるので，分子について考えていきます。

$t(x^2+2tx-1)=0$ とおくと，$t\not=0$ だから

$x^2+2tx-1=0$
$x=-t\pm\sqrt{t^2+1}$

増減表を作ると

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c|c|c}x&\cdots&-t-\sqrt{t^2+1}&\cdots&(0)&\cdots&-t+\sqrt{t^2+1}&\cdots&(\frac{1}{t})&\cdots\\\hline f'(x)&+&0&-&-&-&0&+&+&+\\\hline f(x)&\nearrow&\text{極大}&\searrow&&\searrow&\text{極小}&\nearrow&&\nearrow\end{array}$

$-t+\sqrt{t^2+1}$ と $\cfrac{1}{t}$ の大小は
$-t+\sqrt{t^2+1}-\cfrac{1}{t}$ として
$=\cfrac{-t(t+\sqrt{t^2+1})-1}{t}<0$
となるので $-t+\sqrt{t^2+1}<\cfrac{1}{t}$ である。

何かの値を適当に放り込んでいきます。ここでは $0<t<1$ の条件から，$-t-\sqrt{t^2+1}$ は明らかに負の値で，$-t+\sqrt{t^2+1}$ は正の値です。つまりその間に $x=0$ のポイントがあると言えるので，$x^2+2tx-1$ に $0$ を代入すると $-1$ になるから $f'(x)<0$ だと言えます。

$t=1$ だとして，$-t-\sqrt{t^2+1}=-1-\sqrt{2}$ です。それより小さい値で，たとえば $x=-3$ を考えれば，$x^2+2tx-1=(-3)^2+2\cdot1\cdot(-3)-1=2$ だからプラスになります。表の右端のプラスも同じ考え方です。

したがって，$f(x)$ は極大値と極小値を 1 つずつもつ。（証明終わり）

媒介変数を消去する

(2)に進みます。

問題文より

P$\Big(\alpha,\cfrac{\alpha+t}{\alpha(1-t\alpha)}\Big)$
Q$\Big(\beta,\cfrac{\beta+t}{\beta(1-t\beta)}\Big)$

となります。

また，中点を M$(X,Y)$ とすると

$X=\cfrac{\alpha+\beta}{2}$
$Y=\cfrac{1}{2}\Big\{\cfrac{\alpha+t}{\alpha(1-t\alpha)}+\cfrac{\beta+t}{\beta(1-t\beta)}\Big\}$

です。

ここで，$t,\alpha,\beta$ は媒介変数となっています。軌跡を求めるには媒介変数を消去して $X$ と $Y$ だけを残した式を作っていきます。

$Y=\cfrac{\beta(\alpha+t)(1-t\beta)+\alpha(\beta+t)(1-t\alpha)}{2\alpha\beta(1-t\alpha)(1-t\beta)}$
$=\cfrac{\beta(\alpha-t\alpha\beta+t-t^2\beta)+\alpha(\beta-t\alpha\beta+t-t^2\alpha)}{2\alpha\beta(1-\beta t-\alpha t+\alpha\beta t^2)}$
$=\cfrac{\alpha\beta-\alpha\beta^2t+\beta t-\beta^2 t^2+\alpha\beta-\alpha^2\beta t+\alpha t-\alpha^2 t^2}{2\alpha\beta\{1-(\alpha+\beta)t+\alpha\beta t^2\}}$
$=\cfrac{-(\alpha^2+\beta^2)t^2+(\alpha+\beta-\alpha^2\beta-\alpha\beta^2)t+2\alpha\beta}{2\alpha\beta\{1-(\alpha+\beta)t+\alpha\beta t^2\}}$
$=\cfrac{-\{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\}t^2+\{\alpha+\beta-\alpha\beta(\alpha+\beta)\}t+2\alpha\beta}{2\alpha\beta\{1-(\alpha+\beta)t+\alpha\beta t^2\}}$

ここまで式を整理すると，$\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ を求めればよいことがわかります。

(1) より

$\alpha+\beta=-t-\sqrt{t^2+1}-t+\sqrt{t^2+1}=-2t$

また $X=\cfrac{\alpha+\beta}{2}$ より

$\alpha+\beta=2X$ だから

$-2t=2X$
$t=-X$

さらに

$\alpha\beta=(-t-\sqrt{t^2+1})(-t+\sqrt{t^2+1})$
$=t^2-t\sqrt{t^2+1}+t\sqrt{t^2+1}-(t^2+1)$
$=-1$

これらを代入して

$Y=\cfrac{-\{(2X)^2-2(-1)\}(-X)^2+\{2X-(-1)(2X)\}(-X)+2(-1)}{2(-1)\{1-(2X)(-X)+(-1)(-X)^2\}}$
$=\cfrac{-(4X^2+2)X^2-(2X+2X)X-2}{-2(1+2X^2-X^2)}$
$=\cfrac{-4X^4-2X^2-4X^2-2}{-2(1+X^2)}$
$=\cfrac{2X^4+3X^2+1}{X^2+1}$
$=\cfrac{(2X^2+1)(X^2+1)}{X^2+1}$
$=2X^2+1$

また

$0<1<1$ より

$0<-X<1$

不等式を $-1$ 倍する。このとき不等号の向きが反対になることに注意して

$0>X>-1$

したがって，軌跡は

$y=2x^2+1$　($-1<x<0$)　（答え）