数III 高校数学の解法

【数III】関数の連続と微分可能ってどういうこと?を図解してみる

微分のところで習う微分可能って意味わからないけど役に立つんですか?

入試で直接それを問われるわけじゃないけど,複雑な関数扱うときに知っておかないと困るときがあるね。

ad

微分可能と連続

まず,定義を確認します。

関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能ならば,$x=a$ で連続である。

例として,$f(x)=x^2$ で考えてみます。これが,$x=1$ で微分可能かどうかを調べてみます。

$y’=2x$ ですよね?

それが成り立つのは,初めから式が微分可能であると分かっていることが前提なの。微分可能かどうかを確かめるには極限使って計算する。

ad

微分可能な場合

微分係数
$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\rightarrow0}\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\rightarrow a}\cfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$

ここで,右側微分と左側微分を行います。

微分って点 P の接線の傾きを求めることだったけど,上の図のように $h\rightarrow0$ とすることで,点 Q を P に寄せていくのがやり方だった。

このように $h$ を $x$ の右側にとることを右側微分と言います。極限の計算では,$h\rightarrow+0$ と表します。

$f(x)=x^2,x=1$ とすると

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow+0}\cfrac{(1+h)^2-1^2}{h}$
$\displaystyle\lim_{h\rightarrow+0}\cfrac{1+2h+h^2-1}{h}$
$\displaystyle\lim_{h\rightarrow+0}\cfrac{2h+h^2}{h}$
$\displaystyle\lim_{h\rightarrow+0}(2+h)$
$=2$


今度は $h$ を $x$ の左側にとります。これを左側微分と言い,極限の計算では,$h\rightarrow-0$ と表します。

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow-0}\cfrac{(1+h)^2-1^2}{h}$
$\displaystyle\lim_{h\rightarrow-0}\cfrac{1+2h+h^2-1}{h}$
$\displaystyle\lim_{h\rightarrow-0}\cfrac{2h+h^2}{h}$
$\displaystyle\lim_{h\rightarrow-0}(2+h)$
$=2$

結局,式は同じ?

今回については同じ。あとでやるけど,同じではない場合もある。

こうして,右側微分と左側微分の値が一致しました。このとき関数は $x=1$ で微分可能である,と言います。

右側微分と左側微分が一致 ⇒ 微分可能

微分可能かどうかの判定は,このように右側微分と左側微分を計算することで行います。

微分可能ではない場合

次に,関数 $f(x)=|2x(x-1)|$ において $x=0$ で微分可能かどうかを調べてみましょう。

グラフで表すと上のようになります。$x=0$ のところを見てみると,グラフが角のように折れ曲がっていることが分かります。

先ほどと同じように左右から微分してみましょう。

絶対値がやっかい。

右側微分から考えていきます。$0$ ≦ $x$ ≦ $1$ の区間では絶対値の中の式 $2x(x-1)$ はマイナスになります。そのため,右側から極限を求めるときには式の符号を逆にする必要があります。

$x=0$ のちょっとだけ右側ってのをイメージすると良い。

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow+0}\cfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$
$\displaystyle=\lim_{h\rightarrow+0}\cfrac{-\{2(0+h)(0+h-1)\}-0}{h}$

マイナスつけて絶対値外すわけか。


$\displaystyle=\lim_{h\rightarrow+0}\cfrac{-2h(h-1)}{h}$
$\displaystyle=\lim_{h\rightarrow+0}-2(h-1)$
$=2$

次に左側微分です。

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow-0}\cfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$

ここって,$f(0-h)$ じゃないんですか?

$h$ をマイナス側から $0$ に寄せるってことは,$h$ 自体がマイナスの値であると考えるの。だから $f(0+h)$ で良い。

$x=0$ のちょっとだけ左ってのを考えると,今度は符号そのまま絶対値を外して良いことになるよね。

$\displaystyle=\lim_{h\rightarrow-0}\cfrac{2(0+h)(0+h-1)-0}{h}$
$\displaystyle=\lim_{h\rightarrow-0}\cfrac{2h(h-1)}{h}$
$\displaystyle=\lim_{h\rightarrow-0}2(h-1)$
$=-2$

左右で微分係数が一致しませんでした。つまり,式は $x=0$ で微分可能ではない,というのが答えです。

一致しない場合もあるんですね。

微分可能ではないときってグラフに特徴があって,角みたいなのができて折れ曲がっているところは微分可能ではない。その他にも関数が連続でないときも極限を求めることができないから微分可能ではない。

タイトルとURLをコピーしました