【数III複素数平面】外接円の中心の存在範囲を求める(北海道大2017)

複素数平面上に 3 点 O，A，B を頂点とする △OAB がある。ただし，O は原点とする。△OAB の外心を P とする。3 点 A，B，P が表す複素数を，それぞれ α\alpha，β\beta，γ\gamma とするとき，
αβ=z\alpha\beta=z
が成り立つとする。(北海道大2017)

(1) 複素数 α\alpha の満たすべき条件を求め，点 A (α\alpha) が描く図形を複素数平面上に図示せよ。

(2) 点 P (zz) の存在範囲を求め，複素数平面上に図示せよ。

複素数が垂直二等分線になる

(1)から考えていきます。

まずは，ざっくり図を描くべし。


外接円うまく描けない。
分かる。中心がどこにくるか迷うでしょ？


ある三角形があったとして，その外接円の中心はどこにあるのでしょうか。それは外接円の性質を考えれば分かるはずです。

垂直二等分線でしたっけ？
それそれ。
三角形の辺の垂直二等分線を引いて，その交点が外接円の中心。
なるほど。

外接円を描いてみると，円の半径より OP = BP となることが分かります。よって

∣z∣=∣z−β∣|z|=|z-\beta|

z=αβz=\alpha\beta より

∣αβ∣=∣αβ−β∣|\alpha\beta|=|\alpha\beta-\beta|
∣α∣⋅∣β∣=∣β∣⋅∣α−1∣|\alpha|\cdot|\beta|=|\beta|\cdot|\alpha-1|
∣α∣=∣α−1∣|\alpha|=|\alpha-1|

つまり

∣α−0∣=∣α−1∣|\alpha-0|=|\alpha-1|

この形は垂直二等分線でした。

したがって，A(α)\text{A}(\alpha) が描く図形は，点 0，1 を結ぶ垂直二等分線。(答え)

計算は分かるけど，なんで A の位置が垂直二等分線上になるのか分からない。
確かに直感的には分かりにくいよね。

点 A，B をどの位置に置いたとしても外接円を作ることはできます。しかし，αβ=z\alpha\beta=z の関係から B，Z の位置が決まると A の位置もある 1 点に決まることが分かります。

問題文を読んだとき，普通ならば A，B の位置を決めて，それをもとに P の位置を決めるという順番で考えるはずです。

しかし，ここでは A の位置を問われているので，順番を入れ替えて B，P の位置から A の位置を求めるという計算を行っているのです。

ここで問われていることは発想の転換です。

円の中心の存在範囲を求める

(2)に進みます。

(1)で考察したことをもとにすると，今度は A，B の位置が決まれば，P の位置が 1 点に決まるはずです。

そして，さらに考えると，A，P の位置が決まれば，B の位置が 1 点に決まることになります。

A，B から P を決めると言っても，B はどこでも良いわけじゃない。だから，まず B の位置を決める。

OP = AP より
∣z∣=∣z−α∣|z|=|z-\alpha|
∣αβ∣=∣αβ−α∣|\alpha\beta|=|\alpha\beta-\alpha|
∣α∣⋅∣β∣=∣α∣⋅∣β−1∣|\alpha|\cdot|\beta|=|\alpha|\cdot|\beta-1|
∣β∣=∣β−1∣|\beta|=|\beta-1|

つまり，点 A と同様に点 B も点 0，1 を結ぶ垂直二等分線上です。

A，B の位置は分かりましたが，このままでは計算が進みません。このようなとき，zz を具体的に z=x+yiz=x+yi とし，いったん複素数として表してみるとよいでしょう。

同様に，α\alpha，β\beta も
α=12+si\alpha=\cfrac{1}{2}+si
β=12+ti\beta=\cfrac{1}{2}+ti
としておきます。

文字多い。
文字が増えると不安になるかもね。ゴール地点を考えて。ここでは zz について求めるんだから，xx と yy だけで表される式ができればよい。つまり ss，tt を消去していく方向で考える。

文字が増えると不安になるものです。しかし，ゴール地点を見極めて，不要な文字が最終的に消去できるのであれば，実際のところ文字をどう定めても問題ではないのです。

ここから
z=αβz=\alpha\beta
=(12+si)(12+ti)=\Big(\cfrac{1}{2}+si\Big)\Big(\cfrac{1}{2}+ti\Big)
=14+12(s+t)i−st=\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{2}(s+t)i-st

実部と虚部で整理して

=14−st+12(s+t)i=\cfrac{1}{4}-st+\cfrac{1}{2}(s+t)i

よって

x+yi=14−st+12(s+t)ix+yi=\cfrac{1}{4}-st+\cfrac{1}{2}(s+t)i

左右を比べると

x=14−stx=\cfrac{1}{4}-st ・・・①
y=12(s+t)y=\cfrac{1}{2}(s+t) ・・・②

①より
st=−x+14st=-x+\cfrac{1}{4}

②より
s+t=2ys+t=2y

このように和と積が出来上がったら，解と係数の関係を思い出しましょう。

解と係数の関係
二次方程式の解が α\alpha，β\beta のとき
(x−α)(x−β)=0(x-\alpha)(x-\beta)=0
x2−(α+β)x+αβ=0x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0

解と係数の関係より
X2−2yX−x+14=0X^2-2yX-x+\cfrac{1}{4}=0

この二次関数に意味はありません。単に，ss，tt を解に持つ二次関数というだけです。しかし，ここから xx，yy の関係式を作ることができます。

D4=y2−(−x+14)≧0\cfrac{D}{4}=y^2-\Big(-x+\cfrac{1}{4}\Big)\geqq0

意味のない式作るとか納得いかないです。
高校数学に入るとこういう話結構出てくる。一見，科学的でないように思うかもしれないけど，「意味はないけどたまたま成り立つ法則」ってのが，他のことで役に立つことがあるってのをここで理解して。法則が成立していることをもとに，それを利用することは，ちゃんと科学的思考になっているのよ。


点 A，B が存在するとき，ss，tt はある実数として存在することになります。したがって，二次関数は異なる二つの実数解を持つはずです。

式を変形して
x≧−y2+14x\geqq-y^2+\cfrac{1}{4}

これで，求める xx，yy の関係式が出来上がりました。

y2≧−x+14y^2\geqq-x+\cfrac{1}{4} ってしたらダメですか？
数IIIで放物線やって y2=4pxy^2=4px 習ったよね。確かにそっちで考えてもいいのだけど，今回の式だとむしろややこしくなるかも。

x=−y2+14x=-y^2+\cfrac{1}{4} は，y=−x2+14y=-x^2+\cfrac{1}{4} の xx と yy を入れ替えた式だと考えることができます。つまり逆関数です。

逆関数は，x=yx=y の直線において対称の関係にあるので，それぞれの点を対称移動させていくと，次のようなグラフになります。


したがって，P(zz) の存在範囲は

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