【数III微分】平均値の定理を用いた不等式の証明の仕組み

平均値の定理の仕組み

まず，関数 $y=f(x)$ という何らかの関数があったとします。これの接線の傾きは $y’=f(x)$ です。

次に $x=a$ のときの $y$ の値を $y=f(a)$ として，点A $(a,f(a))$ とします。同じように $x=b$ のときの $y$ の値を $y=f(b)$ として，点B $(b,f(b))$ とします。

さらに，直線 AB の傾きを求めます。直線の傾きは $\cfrac{y \text{の変化量}}{x \text{の変化量}}$ だから，$\cfrac{y(b)-y(a)}{b-a}$ となります。

平均値の定理と不等式の証明

[問題] 次の不等式を証明しなさい。

$0$ ＜ $a$ ＜ $b$ のとき，$\cfrac{1}{b}$ ＜ $\cfrac{\log b-\log a}{b-a}$ ＜ $\cfrac{1}{a}$

まず気づかないといけないのは $\cfrac{\log b-\log a}{b-a}$ の部分が $\cfrac{y \text{の変化量}}{x \text{の変化量}}$ になっていることです。$\log a$ と $\log b$ が $y$ の値であるとするならば，$y=\log x$ という関数が考えられます。そこで，いったん $f(x)=\log x$ とします。

グラフをもとに考えてみましょう。関数 $y=\log x$ における接線の傾きは $(\log x)’=\cfrac{1}{x}$ となるので，$x$ の値が $a$，$b$ のときの接線の傾きはそれぞれ $\cfrac{1}{a}$，$\cfrac{1}{b}$ です。

そして点 A と 点 B の間に点 C をおきます。点 C はその接線の傾き $\cfrac{1}{c}$ が直線 AB の傾きと同じになる点とします。平均値の定理より，この点は A，B の間のどこかに必ず作ることができます。

グラフを見ると分かりますが，$\log x$ のグラフでは $x$ の値が大きくなるほど接線の傾きが小さくなります。それぞれ比べると $\cfrac{1}{b}$ ＜ $\cfrac{1}{c}$ ＜ $\cfrac{1}{a}$ の関係になっています。

そして，直線 AB の傾き＝点 C の接線の傾き なので，不等式は

$\cfrac{1}{b}$ ＜ $\cfrac{\log b-\log a}{b-a}$ ＜ $\cfrac{1}{a}$

となり証明終了です。

[証明]

$f(x)=\log x$ とすると，$f(x)$ は区間 [$a$，$b$] で連続，区間 ($a$，$b$) で微分可能であり $f'(x)=\cfrac{1}{x}$

区間[$a$，$b$]において，平均値の定理より

$\cfrac{\log b-\log a}{b-a}=\cfrac{1}{c}$ ・・・①

$a$ ＜ $c$ ＜ $b$ ・・・②

を満たす実数 $c$ が存在する。

0 ＜ $a$ ＜ $b$ と②より

$\cfrac{1}{b}$ ＜ $\cfrac{1}{c}$ ＜ $\cfrac{1}{a}$

これに①を代入して

$\cfrac{1}{b}$ ＜ $\cfrac{\log b-\log a}{b-a}$ ＜ $\cfrac{1}{a}$ （証明終わり）

平均値の定理と極限

[問題]　$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{e^{2x}-1}{2x}$ を求めよ。

平均値の定理の形に持っていくために式に手を加えましょう。$1=e^0$ とすることができるので，

$\cfrac{e^{2x}-1}{2x}=\cfrac{e^{2x}-e^0}{2x-0}$

と書き換えられます。

次に，不等式を用意しましょう。ただし，不等式は $x$ を正の側から 0 に寄せていく場合と負の側から 0 に寄せていく場合で不等号の関係が逆になるので，場合分けしていきます。また分母が $2x$ なので，$x\not=0$ が前提になります。したがって，場合分けに 0 を含まないように注意しましょう。

[証明]

(i) $x$ ＞ 0 のとき

$f(x)=e^x$ とすると，$f(x)$ は区間 [$0$，$2x$] で連続，区間 ($0$，$2x$) で微分可能であり $f'(x)=e^x$

区間[$0$，$2x$]において，平均値の定理より

$\cfrac{e^{2x}-e^0}{2x-0}=e^c$ ・・・①

$0$ ＜ $c$ ＜ $2x$ ・・・②

を満たす実数 $c$ が存在する。

$f(x)=e^x$ は単調増加するから，②より

$e^0$ ＜ $e^c$ ＜ $e^{2x}$

$e^0$ ＜ $\cfrac{e^{2x}-1}{2x}$ ＜ $e^{2x}$

また

$e^0=1$ (または $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+0}e^0=1$ とも書ける)

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+0}e^{2x}=1$

よって，はさみうちの原理より

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+0}\cfrac{e^{2x}-1}{2x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+0}e^0$ ＜ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+0}\cfrac{e^{2x}-1}{2x}$ ＜ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+0}e^{2x}$

$1$ ＜ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+0}\cfrac{e^{2x}-1}{2x}$ ＜ $1$

(ii) $x$ ＜ 0 のとき

$f(x)=e^x$ とすると，$f(x)$ は区間 [$2x$，$0$] で連続，区間 ($2x$，$0$) で微分可能であり $f'(x)=e^x$

区間[$0$，$2x$]において，平均値の定理より

$\cfrac{e^0-e^{2x}}{0-2x}=e^c$ ・・・①

$2x$ ＜ $c$ ＜ $0$ ・・・②

を満たす実数 $c$ が存在する。

$f(x)=e^x$ は単調増加するから，②より

$e^{2x}$ ＜ $e^c$ ＜ $e^0$

$e^{2x}$ ＜ $\cfrac{e^{2x}-1}{2x}$ ＜ $e^0$

また

$e^0=1$

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-0}e^{2x}=1$

よって，はさみうちの原理より

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-0}\cfrac{e^{2x}-1}{2x}=1$

したがって，(i)，(ii)より

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{e^{2x}-1}{2x}=1$ (答え)