【数III数列の極限】はさみうちの原理をいつ使うのか分からない

不等式を作る

[問題] $a$，$b$ は，$0$ ＜ $a$ ＜ $b$ を満たす定数とし，$n$ を自然数とする。
(1) 不等式 $n\log_2 b$ ＜ $\log_2(a^2+b^2)$ ＜ $n\log_2 b+1$ が成り立つことを証明せよ。
(2) 極限値 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n}$ を求めよ。(広島大)

不等式の証明は一気にできなくもないのですが，今回はなるべく丁寧にいきます。まず，不等式を左側と右側に分けて考えましょう。まず対数の公式より
$n\log_2b=\log_2b^n$ 
と変形できます。また
条件 $0$ ＜ $a$ ＜ $b$ より $b^n$ ＜ $a^n+b^n$
が成り立ちます。$a$ は正の数だから，それを足したらもとの $b^n$ より大きな数になるのは当然です。

対数は $M$ ＜ $N$ なら $\log_a M$ ＜ $\log_a N$ の関係が成り立つので

$\log_2b^n$ ＜ $\log_2(a^n+b^n)$ だから

$n\log_2b$ ＜ $\log_2(a^n+b^n)$

これで不等式の左側の証明ができました。次に右側を考えます。$1$ を対数にしましょう。

$1=\log_2 2$ だから

$n\log_2b+1=\log_2b^n+\log_2 2$

対数の公式 $\log_a M+\log_a N=\log_a M\cdot N$ より

$=\log_2 2b^n$

ここで $2b^n=b^n+b^n$ とすると

$a$ ＜ $b$
$a^n$ ＜ $b^n$

両辺に $b^n$ を加えて

$a^n+b^n$ ＜ $b^n+b^n$

よって

$\log_2(a^n+b^n)$ ＜ $\log_2(b^n+b^n)$
$\log_2(a^n+b^n)$ ＜ $\log_2b+1$

したがって

$n\log_2 b$ ＜ $\log_2(a^n+b^n)$ ＜ $n\log_2 b+1$ (証明終わり)

不等式からはさみうちに持ち込む

次に $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n}$ を考えます。

$\sqrt[n]{a^n+b^n}=(a^n+b^n)^{\frac{1}{n}}$ だから
$\log_2(a^n+b^n)^{\frac{1}{n}}=\cfrac{1}{n}\log_2(a^n+b^n)$

つまり(1)で証明した不等式は

$n\log_2 b$ ＜ $\log_2(a^n+b^n)$ ＜ $n\log_2 b+1$
$\log_2 b$ ＜ $\cfrac{1}{n}\log_2(a^n+b^n)$ ＜ $\log_2 b+\cfrac{1}{n}$
$\log_2 b$ ＜ $\log_2\sqrt[n]{a^n+b^n}$ ＜ $\log_2 b+\cfrac{1}{n}$

と変形できます。

ここではさみうちの原理を使いましょう。

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\log_2b=\log_2b$

また

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\log_2b+\cfrac{1}{n}=\log_2b+0=\log_2b$

よって，はさみうちの原理より

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\log_2\sqrt[n]{a^n+b^n}=\log_2b$

したがって

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n}=b$ (答え)