複素数平面上の点 $z$ が $|4-3i-iz|=2$ を満たすとする。このとき，点 $z$ の全体が表す図形を求めよ。（鹿児島大・改）
ここで学習すること
公式 $z\bar{z}=|z|^2$
文字，実数，虚数におけるバー（棒）の取り扱い。
$(z+a)(\bar{z}+b)$ 型の因数分解
どういう図形になるのか想像つかない。
z全体の表す図形は円になることが多い。そこで，たぶん $|z-\bigcirc\bigcirc|=$ 半径 みたいな形になるんだろな，と思いながら式を変形する。たまに垂直二等分線のこともあるけど，式変形していくうちに判断できれば良い。数IIIはいったんゴール地点を一回決めるの大事。
$z\bar{z}=|z|^2$ が成り立つ仕組み
絶対値があるので，$z\bar{z}=|z|^2$ の公式を思い出しましょう。
なんでその公式成り立つの？
たとえば $z=a+bi$ とするとき，$\bar{z}=a-bi$ を共役（きょうやく）な複素数と言いました。
複素数 $i$ がついてる項の符号をひっくり返すんだった。
$z\bar{z}$ を計算すると
$z\bar{z}=(a+bi)(a-bi)$
$=a^2-abi+abi+b^2$
$=a^2+b^2$
また，原点から点 $z$ までの距離は，三平方の定理を使って $\sqrt{a^2+b^2}$ となります。
原点から点 $z$ までの距離は $|z|$ で表します。絶対値＝距離はベクトルと同じ考え方です。
よって
$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
両辺を２乗して
$|z|^2=a^2+b^2$
つまり
$z\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|z|^2$
たまたま $z\bar{z}=|z|^2$ が成り立つので，便利だから公式として使っちゃえ！ってなったの。
たまたまとかアリなの？
アリ。ちゃんと成り立っていて役に立つなら問題ない。
複素数におけるバー(棒)の取り扱いをマスターする
問題に戻ります。
$|4-3i-iz|=2$
両辺を２乗して
$|4-3i-iz|^2=4$
公式 $z\bar{z}=|z|^2$ より
$(4-3i-iz)(\overline{4-3i-iz})=4$
ここから
$(4-3i-iz)(4+3i+i\bar{z})=4$
バー外すところが分からないです。
まず $\overline{4-3i-iz}$ を分解して，$\overline{4}\enspace\overline{-3i}\enspace\overline{-iz}$とします。
このとき，共役な複素数とは $i$ が付いてる項の符号をひっくり返すってことだよね。
$4$ を無理やり複素数で表すと $4+0i$ となります。その共役な複素数は $4-0i$ だから，結局 $4$ です。
次の $\overline{-3i}$ はどうなる？
$3i$ ですか？
そういうこと。$0-3i$ って考えれば共役な複素数は $0+3i$，つまり $3i$ でオッケー。
じゃあ，$\overline{-iz}$ は？
$+iz$ ですか？
それ間違い。$-i$ の共役な複素数は $+i$ でいいけど，$z$ の共役な複素数は $\bar{z}$ だから。
何で？
$z$ はそれ自体が複素数であり，その中身には $a+bi$ のように実数と虚数の部分が入っています。実数の部分の符号はひっくり返したらダメだから，$\overline{-z}=+z$ にはできません。
$z=a+bi$ として
$\overline{-iz}=\overline{-i}\enspace\overline{(a+bi)}$
$=i(a-bi)$
$=i\bar{z}$
$z$ の共役な複素数は符号変えても表現できないから，$\bar{z}$ とするしかないの。
(z+a)(z+b)型の因数分解
問題に戻ります。
$(4-3i-iz)(4+3i+i\bar{z})=4$は実は裏技っぽいのが使えるんだけど，ここは一回地道にいく。
式を展開すると
$16+12i+4i\bar{z}-12i+9+3\bar{z}-4iz+3z+z\bar{z}=4$
式を整理して
$z\bar{z}+(3-4i)z+(3+4i)\bar{z}+21=0$
で，ここから？
ゴール地点は円だったよね？円に持っていくから，$(z+a)(\bar{z}+b)=$半径 みたいな形に持っていきたいの。そこで，因数分解。
因数分解できる感じがしませんが。
ここで，たとえば $(z+a)(\bar{z}+b)$ を展開すると
$(z+a)(\bar{z}+b)＝z\bar{z}+bz+a\bar{z}+ab$
となります。これを与式と並べてみると
$z\bar{z}+bz+a\bar{z}+ab$
$z\bar{z}+(3-4i)z+(3+4i)\bar{z}+21=0$
上の $b$ が 下の $3-4i$，$a$ が $3+4i$ に当てはまります。
つまり $z\bar{z}+(3-4i)z+(3+4i)\bar{z}$ の部分を因数分解すると
$\{z+(3+4i)\}\{\bar{z}+(3-4i)\}-(3+4i)(3-4i)$
となります。
$\{z+(3+4i)\}\{\bar{z}+(3-4i)\}$ を展開すると，$(3+4i)(3-4i)$ が余計な部分として出てくるので，それを引いてつじつまを合わせましょう。
よって，与式は
$\{z+(3+4i)\}\{\bar{z}+(3-4i)\}-(3+4i)(3-4i)+21=0$
式を整理して
$(z+3+4i)(\bar{z}+3-4i)-(9+16)+21=0$
$(z+3+4i)(\bar{z}+3-4i)-4=0$
$-4$ を右辺に移項して
$(z+3+4i)(\bar{z}+3-4i)=4$
$(z+3+4i)(\bar{z}+\overline{3+4i})=4$
$(z+3+4i)(\overline{z+3+4i})=4$
ここで，公式 $z\bar{z}=|z|^2$ より
$|z+3+4i|^2=4$
$|z+3+4i|=2$
ふつうに２乗はずしていいの？
左辺は絶対値で必ずプラスの値だから，そのままはずしてオッケー。
したがって
中心が $(-3,-4)$ で半径 $2$ の円（答え）
i をカッコの外に取り出す方法
そういえば，裏技あるって言ってましたよね。
裏技は言い過ぎかもしれませんが
$(4-3i-iz)(4+3i+i\bar{z})=4$
これを円に持ち込むとすると $z$ に付いてる $i$ が邪魔です。
じゃあ，カッコの外に出せばいいよね。
つまり
$i^2(-4i-3-z)(-4i+3+\bar{z})=4$
$-1\cdot(-4i-3-z)(-4i+3+\bar{z})=4$
$(z+3+4i)(\bar{z}+3-4i)=4$
あとは一緒。$i$ を外に出すときに符号に注意してね。
この手はいつでも使えるわけではないので，まずは初めの解き方をしっかり身につけましょう。