【数Ⅲ複素数平面】点Zの全体が表す図形

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複素数平面上の点 $z$ が $|4-3i-iz|=2$ を満たすとする。このとき，点 $z$ の全体が表す図形を求めよ。（鹿児島大・改）

ここで学習すること

公式　$z\bar{z}=|z|^2$
文字，実数，虚数におけるバー（棒）の取り扱い。
$(z+a)(\bar{z}+b)$ 型の因数分解

$z\bar{z}=|z|^2$ が成り立つ仕組み

絶対値があるので，$z\bar{z}=|z|^2$ の公式を思い出しましょう。

たとえば $z=a+bi$ とするとき，$\bar{z}=a-bi$ を共役（きょうやく）な複素数と言いました。

$z\bar{z}$ を計算すると

$z\bar{z}=(a+bi)(a-bi)$
$=a^2-abi+abi+b^2$
$=a^2+b^2$

また，原点から点 $z$ までの距離は，三平方の定理を使って $\sqrt{a^2+b^2}$ となります。

原点から点 $z$ までの距離は $|z|$ で表します。絶対値＝距離はベクトルと同じ考え方です。

よって

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

両辺を２乗して

$|z|^2=a^2+b^2$

つまり

$z\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|z|^2$

複素数におけるバー(棒)の取り扱いをマスターする

問題に戻ります。

$|4-3i-iz|=2$

両辺を２乗して

$|4-3i-iz|^2=4$

公式 $z\bar{z}=|z|^2$ より

$(4-3i-iz)(\overline{4-3i-iz})=4$

ここから

$(4-3i-iz)(4+3i+i\bar{z})=4$

まず $\overline{4-3i-iz}$ を分解して，$\overline{4}\enspace\overline{-3i}\enspace\overline{-iz}$とします。

$4$ を無理やり複素数で表すと $4+0i$ となります。その共役な複素数は $4-0i$ だから，結局 $4$ です。

$z$ はそれ自体が複素数であり，その中身には $a+bi$ のように実数と虚数の部分が入っています。実数の部分の符号はひっくり返したらダメだから，$\overline{-z}=+z$ にはできません。

$z=a+bi$ として

$\overline{-iz}=\overline{-i}\enspace\overline{(a+bi)}$
$=i(a-bi)$
$=i\bar{z}$

(z+a)(z+b)型の因数分解

問題に戻ります。

式を展開すると

$16+12i+4i\bar{z}-12i+9+3\bar{z}-4iz+3z+z\bar{z}=4$

式を整理して

$z\bar{z}+(3-4i)z+(3+4i)\bar{z}+21=0$

ここで，たとえば $(z+a)(\bar{z}+b)$ を展開すると

$(z+a)(\bar{z}+b)＝z\bar{z}+bz+a\bar{z}+ab$

となります。これを与式と並べてみると

$z\bar{z}+bz+a\bar{z}+ab$
$z\bar{z}+(3-4i)z+(3+4i)\bar{z}+21=0$

上の $b$ が 下の $3-4i$，$a$ が $3+4i$ に当てはまります。

つまり $z\bar{z}+(3-4i)z+(3+4i)\bar{z}$ の部分を因数分解すると

$\{z+(3+4i)\}\{\bar{z}+(3-4i)\}-(3+4i)(3-4i)$

となります。

$\{z+(3+4i)\}\{\bar{z}+(3-4i)\}$ を展開すると，$(3+4i)(3-4i)$ が余計な部分として出てくるので，それを引いてつじつまを合わせましょう。

よって，与式は

$\{z+(3+4i)\}\{\bar{z}+(3-4i)\}-(3+4i)(3-4i)+21=0$

式を整理して

$(z+3+4i)(\bar{z}+3-4i)-(9+16)+21=0$
$(z+3+4i)(\bar{z}+3-4i)-4=0$

$-4$ を右辺に移項して

$(z+3+4i)(\bar{z}+3-4i)=4$
$(z+3+4i)(\bar{z}+\overline{3+4i})=4$
$(z+3+4i)(\overline{z+3+4i})=4$

ここで，公式 $z\bar{z}=|z|^2$ より

$|z+3+4i|^2=4$
$|z+3+4i|=2$

したがって

中心が $(-3,-4)$ で半径 $2$ の円（答え）

i をカッコの外に取り出す方法

裏技は言い過ぎかもしれませんが

$(4-3i-iz)(4+3i+i\bar{z})=4$

これを円に持ち込むとすると $z$ に付いてる $i$ が邪魔です。

つまり

$i^2(-4i-3-z)(-4i+3+\bar{z})=4$
$-1\cdot(-4i-3-z)(-4i+3+\bar{z})=4$
$(z+3+4i)(\bar{z}+3-4i)=4$

この手はいつでも使えるわけではないので，まずは初めの解き方をしっかり身につけましょう。