数III

【数Ⅲ複素数平面】z の n 乗根の求め方

複素平面で $z$ の $n$ 乗根の求め方がすぐに忘れます。

この辺まですすむと複素数平面の意味がだんだん分かんなくなるよね。基本から押さえなおすから復習して。

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$z$ の $n$ 乗を求める問題

問題 $z^3=1$ のとき、$z$ を求めよ。

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ $(0\leqq\theta\leqq 2\pi)$
$z^3=r^3(\cos\theta+i\sin\theta)^3$
ド・モアブルの定理より
$z^3=r^3(\cos 3\theta+i\sin 3\theta)$
$1$ を極形式で表すと $\cos 0+i\sin 0$
よって
$\cos 0+i\sin 0=r^3(\cos 3\theta+i\sin 3\theta)$
両辺を比べると
$r=1$、$3\theta=0+2k\pi$ $(0\leqq 3\theta\leqq 6\pi)$
$\displaystyle \theta=\frac{2k\pi}{3}$ $(0\leqq\theta\leqq 2\pi)$
したがって
$\displaystyle z_0=\cos 0+i\sin 0=1$
$\displaystyle z_1=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
$\displaystyle z_2=\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

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ド・モアブルの定理

計算何やってるかさっぱりです。

まず、$z$ を極形式で表す。$z$ はいくらになるか分からないから長さを $r$、偏角を $\theta$ としておく。

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$

イメージこんな感じ。あるところに偏角 $\theta$ の点 $z$ ってのがある。$z^3$ って言いかえると、もとの $z$ にさらに $z$ を 2回かけ算するから $\theta$ 回転、$\theta$ 回転ってやって、$1$ に到着する。複素平面ではかけ算って回転だったでしょ?

じゃあ、$\theta$ って $\displaystyle\frac{2\pi}{3}$ ですか?

図から考えるとそうだけど、他にもある。

両辺を3乗して
$z^3=r^3(\cos\theta+i\sin\theta)^3$

ド・モアブル覚えてる?

$n$乗が$n$倍になるヤツですよね。

ド・モアブルの定理
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$

よって
$z^3=r^3(\cos 3\theta+i\sin 3\theta)$

係数を比較する

ここから係数比較にもちこむ。まず、$1$ を極形式で表す。

極形式ニガテ。

ここはそんなに大変じゃないからがんばって。まず、$1$ を $1+0i$ って考える。

複素平面上で考えると、長さ $1$、偏角 $0$ だよね。極形式で言うと

$1=1\times(\cos 0+i\sin 0)$

$\cos 0=1$ だし $\sin 0=0$ だから、ちゃんと左右がイコールになるでしょ? これと上でやった $z^3=r^3(\cos 3\theta+i\sin 3\theta)$ とで係数を比較する。もともと問題文で $z^3=1$ だったのを忘れずにね。

両辺を比べると
$r=1$、$3\theta=0+2k\pi$ $(0\leqq 3\theta\leqq 6\pi)$

$2k\pi$ って何ですか?

偏角 $0$ ってしてるけど、実際は偏角 $2\pi$ とか $4\pi$ のときも成り立つでしょ? $\cos 2\pi+i\sin 2\pi=1$ になる。

ああ、1周回ってもとに戻るんですね。

で、式変形する。

$\displaystyle \theta=\frac{2k\pi}{3}$ $(0\leqq\theta\leqq 2\pi)$

$\theta$ の範囲から言うと、$k=0,1,2$で成り立つから、順番に当てはめていくと

$\displaystyle z_0=\cos 0+i\sin 0=1$
$\displaystyle z_1=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
$\displaystyle z_2=\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

これで答え。

計算はできたけど、何かピンとこないカンジ。

さっきの図を思い出してほしいけど、結局3乗って偏角を3倍することと同じだから、3倍して平面上の $1$ のところにたどりつけばいいじゃない? 偏角 $0$ のときは $0\times 3=0$ で $1$ のところだし、偏角 $\displaystyle\frac{2\pi}{3}$ なら $\displaystyle\frac{2\pi}{3}\times 3=2\pi$ で $1$ のところ、偏角 $\displaystyle\frac{4\pi}{3}$ なら $\displaystyle\frac{4\pi}{3}\times 3=4\pi$ で 2回転して $1$ のところにたどりつく。

逆に言えば、$z^3=1$ って、$z^3$ の偏角が $0$、$2\pi$、$4\pi$ のときだから、それぞれ $\displaystyle\frac{1}{3}$ したやつが $z$ の偏角になるってこと。

範囲の考えかた

でもそれ言ったら、$6\pi$ とか $8\pi$ もオッケーですよね。

範囲に関してはあんまり考えないで、$0\leqq\theta\leqq2\pi$ で答え出せばいい。実際、それ以降を計算してみると

$\displaystyle z_3=\cos\frac{6\pi}{3}+i\sin\frac{6\pi}{3}=\cos 2\pi+i\sin 2\pi=1$
$\displaystyle z_4=\cos\frac{8\pi}{3}+i\sin\frac{8\pi}{3}=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
$\displaystyle z_5=\cos\frac{10\pi}{3}+i\sin\frac{10\pi}{3}=\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

答え同じですね。

あとはずっと同じ答えを繰り返していくことになる。これは知っておいてほしいことだけど、1の3乗根なら答えは3つできるし、1の4乗根なら答えは4つできる。どこまで計算するかはそれで判断してもいい。

1の6乗根

問題 $z^6=1$ のとき、$z$ を求めよ。

まず、上でやったことから考えると答えが6つできる。そして、偏角を6倍したものが$0,2\pi,4\pi,6\pi,8\pi,10\pi$ ってなればいいんだから、逆に考えて $z$ の偏角は $\displaystyle 0,\frac{2\pi}{6},\frac{4\pi}{6},\frac{6\pi}{6},\frac{8\pi}{6},\frac{10\pi}{6}$ になる。だから途中式書くまでもなくいきなり解答できる。

$z_0=\cos 0+i\sin 0=1$
$\displaystyle z_1=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
$\displaystyle z_2=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
$\displaystyle z_3=\cos\pi+i\sin\pi=-1$
$\displaystyle z_4=\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$
$\displaystyle z_5=\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

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