数III 高校数学の解法

【数Ⅲ複素数平面】複素数同士が垂直になるとき 複素数と極形式は同じことだと理解する

問題 任意の自然数 $n$ に対して、複素数 $z_n$ を $z_n=(\sqrt{3}+i)^n$ で定義する。
複素数平面上で $z_{3n}$、$z_{3(n+1)}$、$z_{3(n+2)}$ が表す3点をそれぞれA、B、Cとするとき、∠ABCは直角であることを証明せよ。(島根大)

ここでは、複素数同士が垂直になる条件を使っていくよ。

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垂直条件が成り立つ仕組み

複素数の垂直
複素数平面上の点A$(\alpha)$、B$(\beta)$、C$(\gamma)$ において、
$$\displaystyle\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$$
が純虚数であるとき、AB⊥AC が成り立つ。

式の意味がよく分からないです。

$\alpha$ を引くことで直線の始点を原点に移動させているんだけど、ベクトルの考え方を使って、$\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}}=\beta-\alpha$ って考えてもいい。

あー、そゆこと!

で、複素数って商の公式あったでしょ?

商の公式
$\alpha=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1),\beta=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$ のとき
$$\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}=\frac{r_1}{r_2}\{\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\}$$

つまり、割り算して答えが純虚数なら垂直ってこと。

はい?割り算するのは分かるけど公式は極形式ですよね。

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複素数と極形式

話を整理するために単純な例で考えてみようか。点A、Bは以下のようになっていて、三角比の関係から言って∠AOBが30°になるのは分かるよね?

大丈夫です。60°-30°ですね。

ここで $\alpha=\sqrt{3}+i$、$\beta=1+\sqrt{3}i$ ってして、極形式にした上で割り算するよ。上の三角形は三角比から言ってOAとOBの長さはどっちも2になるのを確認して。

$\alpha=2(\cos 30\degree+i\sin 30\degree)$
$\beta=2(\cos 60\degree+i\sin 60\degree)$
$\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}=\frac{2}{2}\{\cos(60\degree-30\degree)+i\sin(60\degree-30\degree)$
$\displaystyle=\cos 30\degree+i\sin 30\degree$
$\displaystyle=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$

極形式の結果から、∠AOBが30°だってのが分かる。

疑問だけど、何で割り算すると角度の引き算になるの?

上の公式は加法定理から導かれるもので、あんまり深く考えない方がいいかも。そういうものだと思って。

で、同じ計算を極形式使わないでやってみる。

$\displaystyle\frac{\beta}{\alpha}=\frac{1+\sqrt{3}i}{\sqrt{3}+i}$
分母を有理化して
$\displaystyle=\frac{(1+\sqrt{3}i)(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}$
$\displaystyle=\frac{\sqrt{3}-i+3i+\sqrt{3}}{3+1}$
$\displaystyle=\frac{2\sqrt{3}+2i}{4}$
$\displaystyle=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$

こんな風に、極形式のときと答えが同じになる。

なりますね。

でも考えてみたら、$\sqrt{3}+i$ を極形式にして $2(\cos 30\degree+i\sin 30\degree)$ って表すけど、極形式の三角関数を計算したら $\sqrt{3}+i$ に戻るワケじゃない? つまり、極形式にすることによって数値が変わるわけじゃなくて、書き方が違うだけで両者はあくまで同じものってことなの。

同じなんだ。

そう。だから複素平面上の問題やるときは、どっちで解くこともできるんだけど、場合によって極形式にした方が計算が楽な時があって、そのときどきでどっちで計算するかを決めることになる。この辺は経験と勘の問題。

メンドイですね。

複素数平面のありがたさを実感してみる

でも、そのおかげで今までの数学ではできなかった計算もできる。たとえば、$1+2i$ の点を30°回転させた点を求めるとする。

$1+2i$ って偏角が出せないから、極形式に直せないでしょ?

偏角分からないですね。

でも、偏角分からないでも計算できる。極形式で $\displaystyle \cos 30\degree+i\sin 30\degree=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$ だから

$\displaystyle (1+2i)(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)$
$\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i+\sqrt{3}i-1$
$\displaystyle =\frac{\sqrt{3}-2}{2}+\frac{1+2\sqrt{3}}{2}i$

こんな感じで、ちゃんと回転した先の点の位置が分かる。複素数平面って便利でしょ?

今までできなかったのが、できるようになるのはうれしいかもです。

垂直イコール純虚数の意味

今度は90°回転ってのを考える。90°は極形式にすると$\cos 90\degree+i\sin 90\degree=0+i=i$ ってなる。つまり、もとの複素数に 純虚数 $i$ をかけると90°回転になるの。

純虚数なんですね。

そう、そこ大事。考えてみると分かるけど、$0$ から $180\degree$ の範囲で言うと、純虚数になる、つまり $\cos$ が $0$ になるときって90°しかないでしょ?だから純虚数=90°っていうことになるの。

今回の問題では割り算するんだけど、割り算すると直線同士の偏角が出てくるから、それが純虚数であれば偏角が垂直だって言えることになる。それをふまえて問題を解いていくよ。

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