【数III・極限・積分】e^x sin x の積分と e^x – 1 / x の極限(千葉大2018第10問)

e^x sinx の積分

(1)から考えていきましょう。

ここから原始関数の推定を行います。考え方としては，ある式を微分しても元の式と同じような形になるとき，微分した式から積分の結果を逆算で求めるというものです。

公式 $\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ を用いて
$e^{t-x}\sin(t+x)$ を $t$ で微分すると
$\{e^{t-x}\sin(t+x)\}’=(e^{t-x})’\sin(t+x)+e^{t-x}\{\sin(t+x)\}’$
$(e^{t-x})’$ と $\{\sin(t+x)\}’$ は合成関数の微分であることに注意して
$=e^{t-x}\cdot(t-x)’\cdot\sin(t+x)+e^{t-x}\cos(t+x)\cdot(t+x)’$
$=e^{t-x}\cdot1\cdot\sin(t+x)+e^{t-x}\cos(t+x)\cdot1$
$=e^{t-x}\sin(t+x)+e^{t-x}\cos(t+x)$
また，$e^{t-x}\cos(t+x)$ を $t$ で微分すると
$\{e^{t-x}\cos(t+x)\}’=(e^{t-x})’\cos(t+x)+e^{t-x}\{\cos(t+x)\}’$
$=e^{t-x}\cos(t+x)-e^{t-x}\sin(t+x)$
こうしてできあがった式を見てみると，$\cos$ がジャマなので消します。
$\{e^{t-x}\sin(t+x)\}’=e^{t-x}\sin(t+x)+e^{t-x}\cos(t+x)$
$\{e^{t-x}\cos(t+x)\}’=e^{t-x}\cos(t+x)-e^{t-x}\sin(t+x)$
上の式から下の式を引くと
$\{e^{t-x}\sin(t+x)-e^{t-x}\cos(t+x)\}’=2e^{t-x}\sin(t+x)$

$\cfrac{1}{2}\Big\{e^{t-x}\sin(t+x)-e^{t-x}\cos(t+x)\Big\}’=e^{t-x}\sin(t+x)$
左辺の積分＝右辺の積分 だから，これで積分の結果が分かったことになります。
よって
$\displaystyle f(x)=\int_0^x e^{t-x}\sin(t+x)\space dt$
$=\cfrac{1}{2}\Big[e^{t-x}\sin(t+x)-e^{t-x}\cos(t+x)\Big]_0^x$
$=\cfrac{1}{2}\Big\{\Big(e^{x-x}\sin(x+x)-e^{x-x}\cos(x+x)\Big)-\Big(e^{0-x}\sin(0+x)-e^{0-x}\cos(0+x)\Big)\Big\}$
$=\cfrac{1}{2}\Big\{\Big(e^0\sin 2x-e^0\cos 2x\Big)-\Big(e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x\Big)\Big\}$
$=\cfrac{1}{2}(\sin 2x-\cos 2x-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x)$ (答え)

極限の公式を使う

(2)に進みます。

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{f(x)}{x}$
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin 2x-\cos 2x-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x}{2x}$
まずは $\sin$ のほうを先に解決していきます。
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin 2x}{2x}-\cfrac{e^{-x}\sin x}{2x}+\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{e^{-x}\cos x}{2x}-\cfrac{\cos 2x}{2x}$

$\sin$ のほうを計算すると
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin 2x}{2x}-\cfrac{e^{-x}}{2}\cdot\cfrac{\sin x}{x}$
$\displaystyle=1-\cfrac{e^{-0}}{2}\cdot1$
$e^0=1$ だから
$1-\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}$
よって与式は
$\displaystyle=\cfrac{1}{2}+\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{e^{-x}\cos x}{2x}-\cfrac{\cos 2x}{2x}$

$\displaystyle=\cfrac{1}{2}+\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{(e^{-x}-1)\cos x+\cos x}{2x}-\cfrac{\cos 2x}{2x}$

$\displaystyle=\cfrac{1}{2}+\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{e^{-x}-1}{-x}\cdot\cfrac{-x}{2x}\cdot\cos x+\cfrac{\cos x}{2x}-\cfrac{\cos 2x}{2x}$

また，$\cfrac{-x}{2x}$ は約分して $-\cfrac{1}{2}$ となるので
$\displaystyle=\cfrac{1}{2}+1\cdot\Big(-\cfrac{1}{2}\Big)\cdot\cos 0+\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\cos x}{2x}-\cfrac{\cos 2x}{2x}$
$\cos 0=1$ だから
$\displaystyle=\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2}+\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\cos x}{2x}-\cfrac{\cos 2x}{2x}$
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\cos x}{2x}-\cfrac{\cos 2x}{2x}$

$\cos 2x=1-2\sin^2 x$

$\cos x=1-2\sin^2 \cfrac{x}{2}$

これらを用いて，与式は
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{1-2\sin^2\dfrac{x}{2}}{2x}-\cfrac{1-2\sin^2 x}{2x}$
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{1}{2x}-\cfrac{\sin^2\dfrac{x}{2}}{x}-\cfrac{1}{2x}-\cfrac{\sin^2 x}{x}$
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}-\cfrac{\sin^2\dfrac{x}{2}}{x}+\cfrac{\sin^2 x}{x}$
公式の形に合わせていくと
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}-\cfrac{\dfrac{1}{2}\cdot\sin^2\dfrac{x}{2}}{\dfrac{x}{2}}+\cfrac{x\sin^2 x}{x^2}$
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}-\cfrac{\dfrac{1}{2}\cdot\cfrac{x}{2}\cdot\sin^2\dfrac{x}{2}}{\big(\dfrac{x}{2}\big)^2}+\cfrac{x\sin^2 x}{x^2}$
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}-\dfrac{1}{2}\cdot\cfrac{x}{2}\cdot\cfrac{\sin^2\dfrac{x}{2}}{\big(\dfrac{x}{2}\big)^2}+x\cdot\cfrac{\sin^2 x}{x^2}$
$=-\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{0}{2}\cdot1^2+0\cdot1^2$
$=-0+0=0$ (答え)