数III 高校数学の解法

【数III・極限・積分】e^x sin x の積分と e^x – 1 / x の極限(千葉大)

(1) 次の定積分を求めよ。
$\displaystyle f(x)=\int_0^x e^{t-x}\sin(t+x)\space dt$
(2) (1)で求めた $x$ の関数 $f(x)$ に対し,極限値 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{f(x)}{x}$ を求めよ。(千葉大2018)

(1)から考えていきましょう。

$dt$ の文字を見逃さないように。$t$ についての積分だから,$x$ で積分しないこと。

これ,かけ算だから部分積分ですか?

ではない。部分積分ってのはあくまで式の一部を微分したらかけ算が解消できるってのが前提。$e^x$ の微分は $e^x$ だし,$\sin$ は微分し続けても $\sin$ → $\cos$ → $-\sin$ みたいな感じでかけ算が消えない。

どうするの?

$e^x\sin x$ みたいな形の式はやり方決まってる。

ここから原始関数の推定を行います。考え方としては,ある式を微分しても元の式と同じような形になるとき,微分した式から積分の結果を逆算で求めるというものです。

意味不明。

ここは理屈より先にやり方覚えた方がいいだろうね。

公式 $\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ を用いて
$e^{t-x}\sin(t+x)$ を $t$ で微分すると
$\{e^{t-x}\sin(t+x)\}’=(e^{t-x})’\sin(t+x)+e^{t-x}\{\sin(t+x)\}’$
$(e^{t-x})’$ と $\{\sin(t+x)\}’$ は合成関数の微分であることに注意して
$=e^{t-x}\cdot(t-x)’\cdot\sin(t+x)+e^{t-x}\cos(t+x)\cdot(t+x)’$
$=e^{t-x}\cdot1\cdot\sin(t+x)+e^{t-x}\cos(t+x)\cdot1$
$=e^{t-x}\sin(t+x)+e^{t-x}\cos(t+x)$
また,$e^{t-x}\cos(t+x)$ を $t$ で微分すると
$\{e^{t-x}\cos(t+x)\}’=(e^{t-x})’\cos(t+x)+e^{t-x}\{\cos(t+x)\}’$
$=e^{t-x}\cos(t+x)-e^{t-x}\sin(t+x)$
こうしてできあがった式を見てみると,$\cos$ がジャマなので消します。
$\{e^{t-x}\sin(t+x)\}’=e^{t-x}\sin(t+x)+e^{t-x}\cos(t+x)$
$\{e^{t-x}\cos(t+x)\}’=e^{t-x}\cos(t+x)-e^{t-x}\sin(t+x)$
上の式から下の式を引くと
$\{e^{t-x}\sin(t+x)-e^{t-x}\cos(t+x)\}’=2e^{t-x}\sin(t+x)$

左辺は $\{\space\}$ でまとめて大丈夫なんですか?

大丈夫。例えば $(x^2)’-(x)’=2x-1$ で,$(x^2-x)’=2x-1$ だからどっちでも同じことでしょ?

$\cfrac{1}{2}\Big\{e^{t-x}\sin(t+x)-e^{t-x}\cos(t+x)\Big\}’=e^{t-x}\sin(t+x)$
左辺の積分=右辺の積分 だから,これで積分の結果が分かったことになります。
よって
$\displaystyle f(x)=\int_0^x e^{t-x}\sin(t+x)\space dt$
$=\cfrac{1}{2}\Big[e^{t-x}\sin(t+x)-e^{t-x}\cos(t+x)\Big]_0^x$
$=\cfrac{1}{2}\Big\{\Big(e^{x-x}\sin(x+x)-e^{x-x}\cos(x+x)\Big)-\Big(e^{0-x}\sin(0+x)-e^{0-x}\cos(0+x)\Big)\Big\}$
$=\cfrac{1}{2}\Big\{\Big(e^0\sin 2x-e^0\cos 2x\Big)-\Big(e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x\Big)\Big\}$
$=\cfrac{1}{2}(\sin 2x-\cos 2x-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x)$ (答え)

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極限の公式を使う

(2)に進みます。

まず,必要な公式の確認。

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin x}{x}=1$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{e^x-1}{x}=1$

下のヤツ見たことないです。

教科書載ってないよね。でも,まあまあ使うから覚えておいたほうが良い。

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{f(x)}{x}$
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin 2x-\cos 2x-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x}{2x}$
まずは $\sin$ のほうを先に解決していきます。
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin 2x}{2x}-\cfrac{e^{-x}\sin x}{2x}+\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{e^{-x}\cos x}{2x}-\cfrac{\cos 2x}{2x}$

こんな感じで極限の式は $\lim a+b=\lim a+\lim b$ みたいに分解できる。

$\sin$ のほうを計算すると
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin 2x}{2x}-\cfrac{e^{-x}}{2}\cdot\cfrac{\sin x}{x}$
$\displaystyle=1-\cfrac{e^{-0}}{2}\cdot1$
$e^0=1$ だから
$1-\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}$
よって与式は
$\displaystyle=\cfrac{1}{2}+\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{e^{-x}\cos x}{2x}-\cfrac{\cos 2x}{2x}$

次に $e^{-x}$ を何とかする。公式の形にムリヤリ合わせていく。

$\displaystyle=\cfrac{1}{2}+\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{(e^{-x}-1)\cos x+\cos x}{2x}-\cfrac{\cos 2x}{2x}$

カッコを展開したらもとに戻るのを確認して。

$\displaystyle=\cfrac{1}{2}+\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{e^{-x}-1}{-x}\cdot\cfrac{-x}{2x}\cdot\cos x+\cfrac{\cos x}{2x}-\cfrac{\cos 2x}{2x}$

$e$ は $-x$ 乗ってなってるから,分母も $-x$ にするとこ気をつける。

また,$\cfrac{-x}{2x}$ は約分して $-\cfrac{1}{2}$ となるので
$\displaystyle=\cfrac{1}{2}+1\cdot\Big(-\cfrac{1}{2}\Big)\cdot\cos 0+\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\cos x}{2x}-\cfrac{\cos 2x}{2x}$
$\cos 0=1$ だから
$\displaystyle=\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2}+\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\cos x}{2x}-\cfrac{\cos 2x}{2x}$
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\cos x}{2x}-\cfrac{\cos 2x}{2x}$

次に $\cos$ を処理する。上の公式から言って,$\cos$ を $\sin$ に変えたら解けそうだよね。

$\cos 2x$ は 2 倍角の公式ですか?

そうそう。

$\cos 2x=1-2\sin^2 x$

そして偏角のところを半分にすると $\cos x$ もいける。

$\cos x=1-2\sin^2 \cfrac{x}{2}$

$\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}$ はダメですか?

今回はそれをやると失敗するから,もう一つの手として $\cos x=1-2\sin^2 \cfrac{x}{2}$ を知っておくべし。

これらを用いて,与式は
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{1-2\sin^2\dfrac{x}{2}}{2x}-\cfrac{1-2\sin^2 x}{2x}$
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{1}{2x}-\cfrac{\sin^2\dfrac{x}{2}}{x}-\cfrac{1}{2x}-\cfrac{\sin^2 x}{x}$
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}-\cfrac{\sin^2\dfrac{x}{2}}{x}+\cfrac{\sin^2 x}{x}$
公式の形に合わせていくと
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}-\cfrac{\dfrac{1}{2}\cdot\sin^2\dfrac{x}{2}}{\dfrac{x}{2}}+\cfrac{x\sin^2 x}{x^2}$
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}-\cfrac{\dfrac{1}{2}\cdot\cfrac{x}{2}\cdot\sin^2\dfrac{x}{2}}{\big(\dfrac{x}{2}\big)^2}+\cfrac{x\sin^2 x}{x^2}$
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow0}-\dfrac{1}{2}\cdot\cfrac{x}{2}\cdot\cfrac{\sin^2\dfrac{x}{2}}{\big(\dfrac{x}{2}\big)^2}+x\cdot\cfrac{\sin^2 x}{x^2}$
$=-\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{0}{2}\cdot1^2+0\cdot1^2$
$=-0+0=0$ (答え)

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