千葉大数III高校数学の解法

【数III微分】第二次導関数を用いて最大値を求める(千葉大)

曲線 $C:y=\sin x$ 上を点 P($t,\sin t$) $\Big(0$ ≦ $t$ ≦ $\cfrac{\pi}{2}\Big)$ が動く。正の実数 $r$ に対して,P における $C$ の接線上に PQ = $r$ となるように点 Q をとる。ただし,Q の $x$ 座標は $t$ よりも大きいとする。(千葉大2016)

(1) Q の座標を求めよ。

(2) $t=\cfrac{\pi}{4}$ のときに Q の $y$ 座標が最大となるような $r$ の値を求めよ。

ad

三平方の定理を用いる

(1) から進めます。

P の座標に $X,Y$ を加えたものが Q の座標になるから,$r$ をもとに $X,Y$ を求めていく。

まず,接線の傾きを求めます。

$y=\sin x$ より
$y’=\cos x$

次に,三平方の定理を用いて

$X^2+Y^2=r^2$ ・・・①

という式を作ります。

また,接線の傾き,つまり $\cfrac{y の変化量}{x の変化量}$ が分かっているので

$\cfrac{Y}{X}=\cos t$
$Y=X\cos t$

となります。

これを①に代入すると

$X^2+(X\cos t)^2=r^2$
$X^2+X^2\cos^2 t=r^2$
$X^2(1+\cos^2 t)=r^2$
$X^2=\cfrac{r^2}{1+\cos^2 t}$

$X$ > $0$ だから

$X=\cfrac{r}{\sqrt{1+\cos^2 t}}$

よって

$Y=\cfrac{r\cos t}{\sqrt{1+\cos^2 t}}$

となります。これらを点 P の座標に加えたものが Q の座標だから

Q$\Big(t+\cfrac{r}{\sqrt{1+\cos^2 t}},\space\sin t+\cfrac{r\cos t}{\sqrt{1+\cos^2 t}}\Big)$ (答え)

ad

第二次導関数を用いて最大値を考える

(2) に進みます。

問題文の意味が分かりません。

確かに数学やってると案外日本語が難しくて死亡すること多いよね。日本語力鍛えて。

最大値は,関数を微分して微分係数が $0$ になるポイントを見つけることで求めることができます。つまり Q の $y$ 座標を微分して,微分係数が $0$ かつ $t=\cfrac{\pi}{4}$ となるようにすればよいことになります。

この方針にもとづいて,実際に $y$ 座標を微分してみましょう。

$f(t)=\sin t+\cfrac{r\cos t}{\sqrt{1+\cos^2 t}}$ として

公式 $\Big\{\cfrac{f(x)}{g(x)}\Big\}’=\cfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$

$f'(t)=\cos t+\cfrac{(r\cos t)’\sqrt{1+\cos^2 t}-r\cos t(\sqrt{1+\cos^2 t})’}{(\sqrt{1+\cos^2 t})^2}$

微分が複雑になってきたので,部分ごとに考えます。

$(r\cos t)’=(r)’\cos t+r(\cos t)’$
$=0\cdot\cos t+r(-\sin t)$
$=-r\sin t$

$(\sqrt{1+\cos^2 t})’=\{(1+\cos^2 t)^{\small{\frac{1}{2}}}\}’$
$=\cfrac{1}{2}(1+\cos^2 t)^{\small{-\frac{1}{2}}}\cdot(1+\cos^2 t)’$
$=\cfrac{1}{2}(1+\cos^2 t)^{\small{-\frac{1}{2}}}\cdot 2\cos t\cdot(-\sin t)$
$=-(1+\cos^2 t)^{\small{-\frac{1}{2}}}\cdot \cos t\cdot\sin t$

よって

$f'(t)=\cos t+\cfrac{(-r\sin t)\sqrt{1+\cos^2 t}-r\cos t\{-(1+\cos^2 t)^{\small{-\frac{1}{2}}}\cdot\cos t\cdot\sin t\}}{1+\cos^2 t}$
$=\cos t+\cfrac{-r\sin t\sqrt{1+\cos^2 t}+r\sin t\cos^2 t(1+\cos^2 t)^{\small{-\frac{1}{2}}}}{1+\cos^2 t}$

これ,もうちょい整理できる。

$=\cos t-\cfrac{r\sin t\sqrt{1+\cos^2 t}}{1+\cos^2 t}+\cfrac{r\sin t\cos^2 t(1+\cos^2 t)^{\small{-\frac{1}{2}}}}{1+\cos^2 t}$
$=\cos t-\cfrac{r\sin t\sqrt{1+\cos^2 t}}{1+\cos^2 t}+\cfrac{r\sin t\cos^2 t}{(1+\cos^2 t)\sqrt{1+\cos^2 t}}$
$=\cos t-\cfrac{r\sin t(1+\cos^2 t)}{1+\cos^2 t\sqrt{1+\cos^2 t}}+\cfrac{r\sin t\cos^2 t}{(1+\cos^2 t)\sqrt{1+\cos^2 t}}$
$=\cos t-\cfrac{r\sin t(1+\cos^2 t)-r\sin t\cos^2 t}{(1+\cos^2 t)\sqrt{1+\cos^2 t}}$
$=\cos t-\cfrac{r\sin t(1+\cos^2 t-\cos^2 t)}{(1+\cos^2 t)\sqrt{1+\cos^2 t}}$
$=\cos t-\cfrac{r\sin t}{(1+\cos^2 t)\sqrt{1+\cos^2 t}}$

これが $t=\cfrac{\pi}{4}$ のときに極値をとるから,$f’\Big(\cfrac{\pi}{4}\Big)=0$ となる。

$t=\cfrac{\pi}{4}$ とすると

$\sin\cfrac{\pi}{4}=\cos\cfrac{\pi}{4}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}$
$=\cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cfrac{\cfrac{\sqrt{2}}{2}r}{\Big(1+\cfrac{1}{2}\Big)\sqrt{1+\cfrac{1}{2}}}$
$=\cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cfrac{\cfrac{\sqrt{2}}{2}r}{\Big(1+\cfrac{1}{2}\Big)\sqrt{1+\cfrac{1}{2}}}$
$=\cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cfrac{\cfrac{\sqrt{2}}{2}r}{\cfrac{3}{2}\sqrt{\cfrac{3}{2}}}$
$=\cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cfrac{\cfrac{\sqrt{2}}{2}r}{\cfrac{3}{2}\cdot\cfrac{\sqrt{6}}{2}}$
$=\cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cfrac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}\space r=0$
$\cfrac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}\space r=\cfrac{\sqrt{2}}{2}$
$r=\cfrac{6\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$
$=\cfrac{3\sqrt{6}}{4}$

これでいったん答えは出たように見えますが,ここで求めたのはあくまで極値であって,これが最大値であるかどうかは分かりません。

確認作業が必要。もう一回微分して増減表を作る。

$f'(t)=\cos t-\cfrac{r\sin t}{(1+\cos^2 t)\sqrt{1+\cos^2 t}}$
$=\cos t-r\sin t(1+\cos^2 t)^{\small{-\frac{3}{2}}}$
$f”(t)=-\sin t-(r\sin t)'(1+\cos^2 t)^{\small{-\frac{3}{2}}}-r\sin t\{(1+\cos^2 t)^{\small{-\frac{3}{2}}}\}’$
$=-\sin t-r\cos t(1+\cos^2 t)^{\small{-\frac{3}{2}}}+\cfrac{3}{2}\space r\sin t(1+\cos^2 t)^{\small{-\frac{5}{2}}}(1+\cos^2 t)’$
$=-\sin t-r\cos t(1+\cos^2 t)^{\small{-\frac{3}{2}}}+\cfrac{3}{2}\space r\sin t(1+\cos^2 t)^{\small{-\frac{5}{2}}}\cdot 2\cos t(-\sin t)$
$=-\sin t-r\cos t(1+\cos^2 t)^{\small{-\frac{3}{2}}}-3r\sin^2 t\cos t(1+\cos^2 t)^{\small{-\frac{5}{2}}}$

$0$ ≦ $t$ ≦ $\cfrac{\pi}{2}$ より,$\sin t$ ≧ $0$,$\cos t$ ≧ $0$ だから

$f”(t)$ ≦ 0

また,$t=0$ のときを考えると

$f”(0)=-0-r\cdot 1\cdot(1+1)^{\small{-\frac{3}{2}}}-0=-2r$

$r$ > $0$ より

$f”(t)$ < $0$

増減表は

$t$$\cdots$$\frac{\pi}{4}$$\cdots$
$f'(t)$$+$$0$$-$
$f”(t)$$-$$-$$-$
$f(t)$最大

こんな感じで,第二次導関数ってのは,極値が最大なのか最小なのかを判断するときに使うのが基本。

したがって,$r=\cfrac{3\sqrt{6}}{4}$ で最大となる。(答え)

タイトルとURLをコピーしました