数III 高校数学の解法

【数III】置換積分を用いた三角関数の積分

ここでは,三角関数の式の積分のうち,置換積分を用いるものをいくつか取り上げてみます。

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ルートまるごと置き換え

$\displaystyle\int\sqrt{\cos^2x+1}\sin2x\space dx$

$\sqrt{\cos^2x+1}=t$ として

両辺を二乗すると

$\cos^2x+1=t^2$

両辺を微分して

$2\cos x\cdot(-\sin x)\space dx=2t\space dt$

$dx=-\cfrac{t}{\sin x\cos x}\space dt$

よって

(与式)=$\displaystyle-\int t\cdot\sin 2x\cdot\cfrac{t}{\sin x\cos x}\space dt$

2 倍角の公式 $\sin2x=2\sin x\cos x$ より

$\displaystyle=-2\int t\sin x\cos x\cdot\cfrac{t}{\sin x\cos x}\space dt$

$\displaystyle=-2\int t^2\space dt$

$=-2\cdot\cfrac{t^3}{3}+C$

$=-\cfrac{2}{3}(\cos^2 x+1)\sqrt{\cos^2 x+1}+C$ ($C$は積分定数)・・・(答)

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式を変形してから置き換え

$\displaystyle\int_{\small{0}}^{\small{\dfrac{\pi}{4}}} \cfrac{1-\sin^3 x}{\cos^2 x}\space dx$

$=\displaystyle\int_{\small{0}}^{\small{\dfrac{\pi}{4}}} \cfrac{1}{\cos^2x}-\cfrac{\sin^3 x}{\cos^2 x}\space dx$

$(\tan x)’=\cfrac{1}{\cos^2x}$ の公式を用いて

$=\bigg[\tan x\bigg]_{\small{0}}^{\small{\dfrac{\pi}{4}}}-\displaystyle\int_{\small{0}}^{\small{\dfrac{\pi}{4}}} \cfrac{\sin^3 x}{\cos^2 x}\space dx$

$=1-\displaystyle\int_{\small{0}}^{\small{\dfrac{\pi}{4}}} \cfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\cdot\sin x\space dx$

$=1-\displaystyle\int_{\small{0}}^{\small{\dfrac{\pi}{4}}} \cfrac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}\cdot\sin x\space dx$

$\cos x=t$ として

$\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{c|c}x & 0\space\rightarrow\space\frac{\pi}{4}\\\hline t & 1\space\rightarrow\space\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$

$-\sin x\space dx=dt$

$dx=-\cfrac{dt}{\sin x}$

(与式) $=1+\displaystyle\int_{\small{1}}^{\small{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}} \cfrac{1-t^2}{t^2}\cdot\sin x\cdot\cfrac{dt}{\sin x}$

$\displaystyle=1+\displaystyle\int_{\small{1}}^{\small{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}} \cfrac{1-t^2}{t^2}\space dt$

こんな感じで置換したときに式から $x$ が消えれば置換成功ということ。組み合わせをいろいろ試してみるといいよ。

$\displaystyle=1+\displaystyle\int_{\small{1}}^{\small{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}} t^{-2}-1\space dt$

ここで $1$ > $\cfrac{1}{\sqrt{2}}$ だから積分範囲をひっくり返したほうがいいかも。

$\displaystyle=1+\displaystyle\int_{\small{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}}^{\small{1}} 1-t^{-2}\space dt$

$=1+\bigg[t-(-1)\cdot t^{-1}\bigg]_{\small{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}}^{\small{1}}$

$=1+\bigg[t+t^{-1}\bigg]_{\small{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}}^{\small{1}}$

$=1+(1+1)-\Big(\cfrac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}\Big)$

$=3-\Big(\cfrac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}\Big)$

$=3-\cfrac{3\sqrt{3}}{2}$ ・・・(答)

部分分数分解に持ち込む

$\displaystyle\int_{\small{0}}^{\small{\dfrac{\pi}{3}}}\cfrac{\tan x}{1+\cos x}\space dx$

$\displaystyle\int_{\small{0}}^{\small{\dfrac{\pi}{3}}}\cfrac{1}{1+\cos x}\cdot\cfrac{\sin x}{\cos x}\space dx$

$\tan x$ を積分する公式はないから,$\tan x=\cfrac{\sin x}{\cos x}$ に変形してから考える。

$1+\cos x=t$ として

$-\sin x\space dx=dt$

$dx=-\cfrac{dt}{\sin x}$

$\def\arraystretch{1.25}\begin{array}{c|c}x & 0\space\rightarrow\space\frac{\pi}{3}\\\hline t & 2\space\rightarrow\space\frac{3}{2}\end{array}$

(与式)=$-\displaystyle\int_{\small{2}}^{\small{\dfrac{3}{2}}}\cfrac{1}{t}\cdot\cfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\cfrac{dt}{\sin x}$

また $\cos x=t-1$ より

$=-\displaystyle\int_{\small{2}}^{\small{\dfrac{3}{2}}}\cfrac{1}{t(t-1)}\space dt$

ここも積分範囲ひっくり返していこうか。

$=\displaystyle\int_{\small{\dfrac{3}{2}}}^{\small{2}}\cfrac{1}{t(t-1)}\space dt$

経験値の問題だけど,こういう形来たら部分分数分解がひらめくといいね。

$\cfrac{1}{t}-\cfrac{1}{t-1}=\cfrac{t-1-t}{t(t-1)}=-\cfrac{1}{t(t-1)}$

よって

$\cfrac{1}{t(t-1)}=\cfrac{1}{t-1}-\cfrac{1}{t}$

これを用いて

$=\displaystyle\int_{\small{\dfrac{3}{2}}}^{\small{2}}\cfrac{1}{t-1}-\cfrac{1}{t}\space dt$

分数のときは公式 $(\log x)’=\cfrac{1}{x}$ だったよね。

分母が $t-1$ のときもそのまま公式でいいんですか?

それ合成関数になるから $(\log\space g(t))’=\cfrac{1}{g(t)}\cdot g'(t)$ になる。積分としては $\log g(t)\cdot\cfrac{1}{g'(t)}=\cfrac{1}{g(t)}$ だよね。

$g(t)$ とか出てくるとワカランです。

 

言い換えると分母が $\log$ になって,それに分母の微分の逆数かければオッケーってこと。つまり $\cfrac{1}{t-1}$ の積分は

$\log |t-1|\cdot\cfrac{1}{(t-1)’}=\log|t-1|\cdot\cfrac{1}{1}$

$=\log|t-1|$

となる。

 

$\displaystyle=\bigg[\log|t-1|-\log t\bigg]_{\small{2}}^{\small{\dfrac{3}{2}}}$

はいはい質問。$t-1$ の絶対値っているんですか?

対数には真数条件ってのがあって,真数は必ず正の数でなければならない。だから絶対値をつけることになっている。数IIの話。でも真数が正の値になることが分かっていれば絶対値はつけなくてもいい。今回のケースは実際は $t$ に入る値は $\cfrac{3}{2}$ と 2 だから 1 を引いてもマイナスにはならない。実は今回は絶対値いらないのだけど,イチイチ考えるのメンドイからとりあえず絶対値つけてる。

$=\Big(\log 1-\log 2\Big)-\Big(\log\cfrac{1}{2}-\log\cfrac{3}{2}\Big)$

$\log 1=0$ に注意して

$=-\log 2-\log\cfrac{1}{2}+\log\cfrac{3}{2}$

公式 $\log\cfrac{a}{b}=\log a-\log b$ より

$=-\log 2-\log 1+\log 2+\log 3-\log 2$

$=\log3-\log 2$

公式 $\log a-\log b=\log \cfrac{a}{b}$ より

$=\log \cfrac{3}{2}$ ・・・(答)

国公立大学の二次試験問題では数Iから数IIIまでの知識を総合的に聞かれるから,案外数IAと数IIBの復習が大事。

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