数III 高校数学の解法

【数III】微分や平均値の定理を用いて不等式を証明する(千葉大)

以下の問いに答えよ。(千葉大2016)
(1) $x$ > $0$ において,不等式 $\log x$ < $x$ を示せ。
(2) $1$ < $a$ < $b$ のとき,不等式
$\cfrac{1}{\log a}-\cfrac{1}{\log b}$ < $\cfrac{b-a}{a(\log a)^2}$
を示せ。
(3) $x$ ≧ $e$ において,不等式
$\displaystyle\int_e^x \cfrac{dt}{t\log(t+1)}$ ≧ $\log(\log x)+\cfrac{1}{2(\log x)^2}-\cfrac{1}{2}$
を示せ。ただし,$e$ は自然対数の底である。

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式を微分して不等式を証明する

(1)から進めます。
不等式の証明は右辺を $0$ にするのが基本です。よって

$x-\log x$ > $0$

$\log x-x$ < $0$ でもオッケー?

オッケーだけど,普通は式を 0 以上にしておくほうが計算しやすい。

ここから,式がつねに 0 以上になることを証明するために,式の最小値を求めるとよいでしょう。そのためには微分します。

$f(x)=x-\log x$ として
$f'(x)=1-\cfrac{1}{x}$
$1-\cfrac{1}{x}=0$ のとき,$x=1$

増減表は

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline x&\cdots&1&\cdots\\\hline f'(x)&-&0&+\\\hline f(x)&\searrow&1&\nearrow\\\hline\end{array}$

$f(1)=1-\log 1=1$

よって,$x$ > 0 において,つねに $x-\log x$ > $0$ が成り立つ。

したがって, $\log x$ < $x$ (証明終わり)

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平均値の定理を用いて不等式を証明する

(2)に進みます。
数IIIに入って習う,不等式のもう一つの証明法が平均値の定理です。

平均値の定理
関数 $f(x)$ が区間 $[a,b]$ で連続で,区間 $(a,b)$ で微分可能ならば
$\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$ ($a$<$c$<$b$)
を満たす実数 $c$ が存在する。

初めから平均値の定理使うことにたどり着かないかもしれないけど,いろいろ式変形を試しているうちにそれっぽい形になると思う。

$\cfrac{1}{\log a}-\cfrac{1}{\log b}$ < $\cfrac{b-a}{a(\log a)^2}$
$\cfrac{\log b-\log a}{\log a\log b}$ < $\cfrac{b-a}{a(\log a)^2}$
$\cfrac{\log b-\log a}{b-a}$ < $\cfrac{\log a\log b}{a(\log a)^2}$
$\cfrac{\log b-\log a}{b-a}$ < $\cfrac{\log b}{a\log a}$

ここで,平均値の定理より $f(x)=\log x$ とすると

$f'(x)=\cfrac{1}{x}$ だから
$\cfrac{\log b-\log a}{b-a}=\cfrac{1}{c}$ ($a$<$c$<$b$)

を満たす実数 $c$ が存在する。

$a$<$c$<$b$ より

2<3 なら,$\cfrac{1}{2}$ > $\cfrac{1}{3}$。逆数とったら不等号の向きが逆になる。 

$\cfrac{1}{b}$<$\cfrac{1}{c}$<$\cfrac{1}{a}$
$\cfrac{1}{b}$<$\cfrac{\log b-\log a}{b-a}$<$\cfrac{1}{a}$

見たことあるような気がする。

この辺は教科書の例題通り。

$a$ < $b$ より,$1$ < $\cfrac{b}{a}$ だから
$1$ < $\cfrac{\log b}{\log a}$
$\cfrac{1}{a}$ < $\cfrac{\log b}{a\log a}$

が成り立つ。よって

$\cfrac{1}{b}$<$\cfrac{\log b-\log a}{b-a}$<$\cfrac{1}{a}$<$\cfrac{\log b}{a\log a}$
だから
$\cfrac{\log b-\log a}{b-a}$ < $\cfrac{\log b}{a\log a}$
が成り立つ。したがって

$\cfrac{1}{\log a}-\cfrac{1}{\log b}$ < $\cfrac{b-a}{a(\log a)^2}$ (証明終わり)

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定積分の性質を用いる


(3)に進みます。
ここで,公式を使います。

$\displaystyle\cfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\space dt=f(x)$

これを用いて
$\displaystyle\cfrac{d}{dx}\int_e^x \cfrac{dt}{t\log(t+1)}=\cfrac{1}{x\log(x+1)}$
となります。
いったん,不等式を移項して
$\displaystyle\int_e^x \cfrac{dt}{t\log(t+1)}-\log(\log x)-\cfrac{1}{2(\log x)^2}+\cfrac{1}{2}$ ≧ $0$
$f(x)=\displaystyle\int_e^x \cfrac{dt}{t\log(t+1)}-\log(\log x)-\cfrac{1}{2(\log x)^2}+\cfrac{1}{2}$
とします。ここから微分していきますが,各項ごとに注意が必要です。
$\log(\log x)$ を $x$ で微分すると,合成関数の微分より
$\cfrac{1}{\log x}\cdot(\log x)’=\cfrac{1}{x\log x}$
また,$\cfrac{1}{2(\log x)^2}$ を $x$ で微分すると
$\Big\{\cfrac{1}{g(x)}\Big\}’=-\cfrac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}$
$\cfrac{\{2(\log x)^2\}’}{\{2(\log x)^2\}^2}=\cfrac{4\log x\cdot(\log x)’}{4(\log x)^4}$
$=\cfrac{\cfrac{1}{x}}{(\log x)^3}$
$=\cfrac{1}{x(\log x)^3}$
よって
$f'(x)=\cfrac{1}{x\log(x+1)}-\cfrac{1}{x\log x}+\cfrac{1}{x(\log x)^3}$
ここで(2)の式を $a=x$,$b=x+1$ とすると
$\cfrac{1}{\log x}-\cfrac{1}{\log(x+1)}$<$\cfrac{x+1-x}{x(\log x)^2}$
$\cfrac{1}{\log x}-\cfrac{1}{\log(x+1)}$<$\cfrac{1}{x(\log x)^2}$
$\cfrac{1}{x\log x}-\cfrac{1}{x\log(x+1)}$<$\cfrac{1}{x^2(\log x)^2}$
$\cfrac{1}{x\log(x+1)}-\cfrac{1}{x\log x}+\cfrac{1}{x^2(\log x)^2}$ > $0$

これで,$f'(x)$ と似た形の式ができた。あとは違う部分があるから比べていく。

(1)より $\log x$ < $x$ だから
$\cfrac{1}{\log x}$ > $\cfrac{1}{x}$
$\cfrac{1}{x\log x}$ > $\cfrac{1}{x^2}$
$\cfrac{1}{x(\log x)^3}$ > $\cfrac{1}{x^2(\log x)^2}$
よって
$0$ < $\cfrac{1}{x\log(x+1)}-\cfrac{1}{x\log x}+\cfrac{1}{x^2(\log x)^2}$ < $f'(x)$
$0$ < $f'(x)$
が成り立つ。

こんな感じで入試レベルの不等式の証明って,部分ごとに不等式をあてはめて,全体を作り上げることが多い。

あくまで,これで証明できたのは微分した式についてです。$0$ < $f'(x)$ より関数 $f(x)$ が単調増加であることが分かります。

どうしたらいいの?

問題文に $x$ ≧ $e$ があるから,$x=e$ のときに $f(x)$ が $0$ 以上であれば,$x$ がそれ以上でも $f(x)$ が負の値になることはないと言える。関数が単調増加ってそういうこと。

ここでもう一度 $f(x)$ に戻ります。
$f(x)=\displaystyle\int_e^x \cfrac{dt}{t\log(t+1)}-\log(\log x)-\cfrac{1}{2(\log x)^2}+\cfrac{1}{2}$
$x=e$ とすると積分のところが $\int_e^e=0$ となってうまく対処できそうです。
$f(e)=0-\log(\log e)-\cfrac{1}{2(\log e)^2}+\cfrac{1}{2}$
$=-\log 1-\cfrac{1}{2\cdot1^2}+\cfrac{1}{2}$
$=-0-\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}=0$
よって,$x$ ≧ $e$ のとき $f(x)$ ≧ $0$
したがって,不等式は成り立つ。(証明終わり)

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