千葉大数IAIIB高校数学の解法

【数II積分】積分式を文字に置きかえる(千葉大)

$a$,$b$ は実数とする。関数 $f(x)$ は
$\displaystyle f(x)=a\sin x+b\cos x+\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos t\space dt$
をみたし,かつ,$-\pi\leqq x \leqq \pi$ における最大値は $2\pi$ である。このとき,
$\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \{f(x)\}^2\space dx$
を最小にする $a,b$ の値と,その最小値を求めよ。(千葉大2010)

この問題,あとで最大値 $2\pi$ を使うから忘れないように。問題文の条件は必ずどこかで使うから見逃さない。

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積分の式を $k$ に置きかえる

今回のように関数の中に積分が含まれている場合には,積分の式を文字に置き換えるのがセオリーです。

ここで理解すべきポイントがあります。$f(x)$ は $x$ の値によって変化する関数です。しかし,積分式の中に $x$ の文字はありません。つまり,積分式の部分は $x$ の値に関係なく,ある一定の値をとるということです。$x$ の値が変化しても積分式の部分は同じ値,つまり定数となります。だから,積分式の部分を文字に置きかえても構わないのです。

$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi f(t)\cos t\space dt=k$ として
$f(x)=a\sin x+b\cos x+k$
両辺に $\cos x$ をかけて
$f(x)\cos x=a\sin x\cos x+b\cos^2 x+k\cos x$
よって
$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi f(t)\cos t\space dt$
$=\displaystyle \int_{-\pi}^\pi a\sin t\cos t+b\cos^2 t+k\cos t\space dt$

積分たいへん。

ここで定積分のテクニック。2倍角と半角の公式をうまく使っていく。

$\sin 2x=2\sin x\cos x$
$\sin x\cos x=\cfrac{\sin 2x}{2}$
また
$\cos^2 x=\cfrac{1+\cos 2x}{2}$ 

より
$=\displaystyle \int_{-\pi}^\pi a\cfrac{\sin 2t}{2}+\cfrac{b+b\cos 2t}{2}+k\cos t\space dt$
$=\Big[\cfrac{a}{2}(-\cos 2t)\cdot\cfrac{1}{2}+\cfrac{b}{2}t+\cfrac{b}{2}\sin 2t\cdot\cfrac{1}{2}+k\sin t\Big]_{-\pi}^\pi$
$=\Big[-\cfrac{a}{4}\cos 2t+\cfrac{b}{2}t+\cfrac{b}{4}\sin 2t+k\sin t\Big]_{-\pi}^\pi$

こうなると,$\sin$ の部分が $0$ になって消える。

$=\Big(-\cfrac{a}{4}+\cfrac{b}{2}\pi\Big)-\Big(-\cfrac{a}{4}-\cfrac{b}{2}\pi\Big)$
$=b\pi$
よって
$f(x)=a\sin x+b\cos x+b\pi$

これでようやく $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \{f(x)\}^2\space dx$ を求めることができそうです。

$\{f(x)\}^2=(a\sin x+b\cos x+b\pi)^2$

公式 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ より

$=a^2\sin^2 x+b^2\cos^2+b^2\pi^2+2ab\sin x\cos x+2b^2\pi\cos x+2ab\pi\sin x$

ここで再び,2倍角と半角の公式を用います。

$\sin^2 x=\cfrac{1-\cos 2x}{2}$

$=\cfrac{a^2-a^2\cos 2x}{2}+\cfrac{b^2+b^2\cos 2x}{2}+b^2\pi^2+ab\sin 2x+2b^2\pi\cos x+2ab\pi\sin x$
よって
$\displaystyle S=\int_{-\pi}^\pi \{f(x)\}^2\space dx$
$=\Big[\cfrac{a^2}{2}x-\cfrac{a^2}{4}\sin 2x+\cfrac{b^2}{2}x+\cfrac{b^2}{4}\sin 2x+b^2\pi^2 x-\cfrac{ab}{2}\cos 2x+2b^2\pi\sin x-2ab\cos x\Big]_{-\pi}^\pi$
$=\Big(\cfrac{a^2}{2}\pi+\cfrac{b^2}{2}\pi+b^2\pi^3-\cfrac{ab}{2}+2ab\Big)-\Big(-\cfrac{a^2}{2}\pi-\cfrac{b^2}{2}\pi-b^2\pi^3-\cfrac{ab}{2}+2ab\Big)$
$=a^2\pi+b^2\pi+2b^2\pi^2$
$=a^2\pi+b^2\pi(1+2\pi^2)$
$=\pi\{a^2+(1+2\pi^2)b^2\}$

ここで,$-\pi\leqq x \leqq \pi$ における最大値は $2\pi$ という条件を思い出す。

$f(x)$ の最大値を求めます。
$f(x)=a\sin x+b\cos x+b\pi$

三角関数の合成
$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)$

$f(x)=\sqrt{a^b+b^2}\sin(x+\alpha)+b\pi$

こうしてできあがった式を見ると $x$ の値によって変化するのは $\sin$ の部分だけなので,$\sin$ が最大のときに式が最大になります。

$\sin(x+\alpha)$ の最大は $1$ だから
$\sqrt{a^2+b^2}+b\pi=2\pi$ 
$\sqrt{a^2+b^2}=2\pi-b\pi=\pi(2-b)$
$a^2+b^2=\pi^2(2-b)^2$
$a^2=\pi^2(2-b)^2-b^2$ ・・・①

とりあえず $a,b$ の関係式ができあがりました。あとは $S$ の最小値を求めていきます。

①を代入して
$S=\pi\{\pi^2(2-b)^2-b^2+(1+2\pi^2)b^2\}$
$=\pi(4\pi^2-4\pi^2b+\pi^2b^2-b^2+b^2+2\pi^2b^2)$
$=\pi(3\pi^2b^2-4\pi^2b+4\pi^2)$
$=\pi^3(3b^2-4b+4)$
平方完成して
$=\pi^3\Big\{3\Big(b^2-\cfrac{4}{3}b\Big)+4\Big\}$
$=\pi^3\Big\{3\Big(b-\cfrac{2}{3}\Big)^2-\cfrac{4}{3}+4\Big\}$
$=\pi^3\Big\{3\Big(b-\cfrac{2}{3}\Big)^2+\cfrac{8}{3}\Big\}$

よって $b=\cfrac{2}{3}$ のとき最小値 $\cfrac{8}{3}\pi^3$

$b$ の値が分かったので,①に代入して $a$ の値を求めます。

$a^2=\pi^2\Big(2-\cfrac{2}{3}\Big)^2-\Big(\cfrac{2}{3}\Big)^2$
$=\cfrac{16}{9}\pi^2-\cfrac{4}{9}$
$=\cfrac{4}{9}(4\pi^2-1)$
$a=\pm\cfrac{2}{3}\sqrt{4\pi^2-1}$

したがって

$(a,b)=\Big(\pm\cfrac{2}{3}\sqrt{4\pi^2-1},\cfrac{2}{3}\Big)$ のとき最小値 $\cfrac{8}{3}\pi^3$ (答え)

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