【数IIBベクトル】平面に垂線を下ろす(北海道大2019文系第1問)

$p$ を負の実数とする。座標空間に原点 O と 3 点　A$(-1,2,0)$，B$(2,-2,1)$，P$(p,-1,2)$ があり，3 点 O，A，B が定める平面を $\alpha$ とする。また，点 P から平面 $\alpha$ に垂線を下ろし，$\alpha$ との交点を Q とする。

(1) $\overrightarrow{\text{OQ}}=a\overrightarrow{\text{OA}}+b\overrightarrow{\text{OB}}$ となる実数 $a,b$ を $p$ を用いて表せ。

(2) 点 Q が △OAB の周または内部にあるような $p$ の範囲を求めよ。

(北海道大2019)

平面に垂線を下ろす

(1)から進めます。

平面に下ろす問題では求めるべきものが 3 つあります。

・$\overrightarrow{\text{PQ}}$
・$\overrightarrow{\text{PQ}}\cdot\overrightarrow{\text{OA}}=0$
・$\overrightarrow{\text{PQ}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}=0$

PQ は垂線だから，平面上のベクトルであればどんなベクトルでも垂直になります。したがって，その内積は 0 です。

$\overrightarrow{\text{OQ}}=a(-1,2,0)+b(2,-2,1)$
$=(-a+2b,2a-2b,b)$
$\overrightarrow{\text{PQ}}=\overrightarrow{\text{OQ}}-\overrightarrow{\text{OP}}$
$=(-a+2b-p,2a-2b+1,b-2)$

$\overrightarrow{\text{PQ}}\cdot\overrightarrow{\text{OA}}=0$ より
$(-a+2b-p)(-1)+(2a-2b+1)\cdot2=0$
$a-2b+p+4a-4b+2=0$
$5a-6b+p+2=0$
$5a-6b=-p-2$ ・・・①

$\overrightarrow{\text{PQ}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}=0$ より
$(-a+2b-p)\cdot2+(2a-2b+1)(-2)+b-2=0$
$-2a+4b-2p-4a+4b-2+b-2=0$
$-6a+9b-2p-4=0$
$-6a+9b=2p+4$ ・・・②

①×3+②×2
$3a=p+2$
$a=\cfrac{p+2}{3}$ (答え)

①に代入して
$5\cdot\cfrac{p+2}{3}-6b=-p-2$
$6b=\cfrac{5p+10}{3}+p+2$
$=\cfrac{5p+10+3p+6}{3}$
$=\cfrac{8p+16}{3}$
$b=\cfrac{4(p+2)}{9}$ (答え)

三角形の周または内部になる範囲

(2)に進みます。

点が三角形の周または内部になる条件は

$a\geqq0$，$b\geqq0$
$0\leqq a+b\leqq1$

となります。

たとえば，$a\geqq0,b\geqq0$ ($a+b\leqq1$)の場合，このように三角形の内部，または AB 上になります。

もし，$a$ または $b$ がマイナスの場合，三角形の外にはみだします。

そして，$a+b=1$ のとき，点は AB 上にあり，$a+b>1$ のとき，点は三角形の外にはみだします。

よって
$a=\cfrac{p+2}{3}>0$
$p\geqq-2$
また
$b=\cfrac{4(p+2)}{9}\geqq0$
$p\geqq-2$
さらに
$0\leqq\cfrac{p+2}{3}+\cfrac{4(p+2)}{9}\leqq1$
$0\leqq\cfrac{3(p+2)+4(p+2)}{9}\leqq1$
$0\leqq\cfrac{7(p+2)}{9}\leqq1$
$0\leqq p+2\leqq\cfrac{9}{7}$
$-2\leqq p\leqq-\cfrac{5}{7}$ (答え)