数IAIIB 高校数学の解法

【数ⅡB】部分分数分解と数列の和 かけ算が引き算になるのはなぜ?

数列の和のとこで分数のかけ算が引き算になるヤツ意味が分かりません。

そういうの部分分数分解って言うんだけど、どっちかというとたまたまそうなってるだけって理解した方がいいと思う。教科書と説明の仕方少し変えてみるから、それで理解を深めてね。

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数字で理解する

まずは、数字でいこうか。$\displaystyle\frac{1}{2\times3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$ ってのはこうなる。

$\displaystyle 1=3-2$
全体を$2\times3$で割ると
$\displaystyle \frac{1}{2\times3}=\frac{\cancel{3}}{2\times\cancel{3}}-\frac{\cancel{2}}{\cancel{2}\times3}$
$\displaystyle \frac{1}{2\times3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

こんか感じでうまいこと $2$ と $3$ で約分される。

んー、$3-2$が$\displaystyle\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$になるの、何かすっきりしない。

初めは$3,2$の順なのに分数では$2,3$の順になるところでしょ?式を見直してほしいけど、約分するときに、1番目の項は「3ではない方」、2番目の項は「2ではない方」が残るから、順番が入れ替わるの。

あー、なんとなく分かりました。

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文字で理解する

今度は文字を使って同じことやるよ。

$1=b-a$
全体を$a\cdot b$で割ると
$\displaystyle\frac{1}{a\cdot b}=\frac{\cancel{b}}{a\cdot \cancel{b}}-\frac{\cancel{a}}{\cancel{a}\cdot b}$
$\displaystyle\frac{1}{a\cdot b}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$

これは、$b$と$a$の差が$1$のときに成り立つから、例えば $\displaystyle\frac{1}{5\cdot6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$ となる。

なるほど。

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引き算に直して消去する

ここで一個問題解いてみるよ。

次の和$S$を求めよ。
$\displaystyle S=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}$

上でやったこと使って引き算に直していくとうまくいく。

$\displaystyle S=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+$
$\displaystyle\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$

そうすると、$\displaystyle -\frac{1}{2}$ と $+\displaystyle\frac{1}{2}$ で打ち消し合って消えることになる。

$\displaystyle S=\left(\frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{2}}\right)+\left(\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{1}{3}}\right)+\left(\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{4}}\right)+$
$\displaystyle\cdots+\left(\cancel{\frac{1}{n-1}}-\cancel{\frac{1}{n}}\right)+\left(\cancel{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n+1}\right)$

最初と最後だけ打ち消し合う相手がいないから残るよね。

$\displaystyle S=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$ (答え)

最後は通分するんですね。

そうそう。解答はなるべくコンパクトな式にするっていう方針で考える。

差が1でない場合

今度は $\displaystyle\frac{1}{3\cdot5}$ ならどうする?

$\displaystyle\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$ ですか?

それ計算合わないよ。

$\displaystyle=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}$

分子が2になっちゃった。

さっきの計算で言うと、こうなるよね。

$2=b-a$
$\displaystyle\frac{2}{a\cdot b}=\frac{\cancel{b}}{a\cdot \cancel{b}}-\frac{\cancel{a}}{\cancel{a}\cdot b}$
$\displaystyle\frac{2}{a\cdot b}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$

$5-3$ が $2$ だから、最後も $2$ になるのか。

そういうこと。だから、つじつま合わせるために $2$ で割るの。

$\displaystyle \frac{1}{3\cdot 5}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)$

無理くり合わせてるんですか?

そう。強引に合わせてるだけだから深く考えないで。

ちなみに、$\displaystyle \frac{1}{3\cdot8}$ ならどうする?

$8-3=5$ だから、$\displaystyle\frac{1}{5}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{8}\right)$ ?

正解。

引き算に直して消去する2

じゃあ、それ使って次の問題。

次の和$S$を求めよ。

$\displaystyle S=\frac{1}{2\cdot5}+\frac{1}{5\cdot8}+\frac{1}{8\cdot11}+\cdots+\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$

基本さっきの問題と同じだけど、$5-2=3$ だから $\displaystyle\frac{1}{3}$ をかけるのを忘れずに。

$\displaystyle S=\frac{1}{3}\bigg\{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{11}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{3n-4}-\frac{1}{3n-1}\right)+\left(\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\right)\bigg\}$

$3n-4$ ってどういうこと?

分母のとこ見たら $2$、$5$、$8$ って $3$ ずつ増えてるでしょ?つまり、最後の項の $3n-1$ の一個手前は $3$ 減らせばいい。だから、$3n-1-3$ で $3n-4$ になる。同様に、$3n+2$ から $3$ 減らして1つ前の項は $3n-1$ だよね。

あとは気持ちよく消去!

$\displaystyle S=\frac{1}{3}\bigg\{\left(\frac{1}{2}-\cancel{\frac{1}{5}}\right)+\left(\cancel{\frac{1}{5}}-\cancel{\frac{1}{8}}\right)+\left(\cancel{\frac{1}{8}}-\cancel{\frac{1}{11}}\right)+\cdots+\left(\cancel{\frac{1}{3n-4}}-\cancel{\frac{1}{3n-1}}\right)+\left(\cancel{\frac{1}{3n-1}}-\frac{1}{3n+2}\right)\bigg\}$

$\displaystyle S=\frac{1}{3}\left\{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}\right)\right\}$
$\displaystyle =\frac{1}{3}\left\{\frac{3n+2-2}{2(3n+2)}\right\}$
$\displaystyle =\frac{1}{3}\left\{\frac{3n}{2(3n+2)}\right\}$
$\displaystyle =\frac{n}{2(3n+2)}$ (答え)

解けた!

かけ算を引き算に直すところがうまくいけばあとは消去するだけだから、部分分数分解のやり方コツをつかんで。

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