数IAIIB 高校数学の解法

【数II二項定理】(a+b+c)^n の展開式の係数を求める

[問題] $(a+b+c)^6$ における $a^3bc^2$ の項の係数を求めよ。

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公式を使って解く方法

公式
$(a+b+c)^n$ における $a^pb^qc^r$ の項の係数は
$\cfrac{n!}{p!q!r!}$ ただし $p+q+r=n$

公式を当てはめると

$\cfrac{6!}{3!1!2!}=\cfrac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}{1\cdot2\cdot3\cdot1\cdot1\cdot2}$

$=60$ (答え)

公式暗記ですか。

基本的に暗記すべきだろうけど,公式使わないパターンも知ってた方がいろんなパターンに対応できるようになると思う。

ad

公式を使わない方法

式を二項定理の形にします。

$(a+b+c)^6$

$(a+b)=A$ とすると

$(A+c)^6$

$=_6C_0A^6c^0+_6C_1A^5c^1+_6C_2A^4c^2+\cdots+_6C_6A^0c^6$

求めるのは $a^3bc^2$ の項の係数だから,$c^2$ を含む項のみを考えます。式を見ると

$_6C_2A^4c^2$ ・・・①

$A^4=(a+b)^4$ より,ふたたび二項定理を用いて

$=_4C_0a^4b^0+_4C_1a^3b^1+_4C_2a^2b^2+_4C_3a^1b^3+_4C_4a^0b^4$

この中で,$a^3b$ の項は

$_4C_1a^3b^1$ ・・・②

②を①に代入すると

$_6C_2\times_4C_1a^3bc^2$

つまり,求める係数は

$_6C_2\times_4C_1=\cfrac{6\cdot5}{2}\cdot4=60$ (答え)

こんな感じで二項定理を2回使えば解決する。

手順をまとめると

$(a+b+c)^6$ を $\{(a+b)+c\}^6$ として

$(a+b)^4c^2$ の係数は $_6C_2$

今度は $(a+b)^4$ で考えて

$a^3b$ の係数は $_4C_1$

よって,$a^3bc^2$ の係数は $_6C_2\times_4C_1=60$ (答え)

ad

場合の数と二項定理

かけ算になるのがイマイチ分からない。

場合の数を数えている。$\{(a+b)+c\}^6$ を普通に展開していったらいろんな項ができるんだけど,その中に $(a+b)^4c^2$ がいくつもできる。いくつできるか数えると $_6C_2=15$ 個ある。つまり $15\times(a+b)^4c^2$ だよね。

ですね。

そして $_6C_2$ はいったん置いておいて,$(a+b)^4c^2$ を展開したとき,$a^3bc^2$ の項は $_4C_1$ 個できる。つまり 4 個できる。だから $4\times a^3bc^2$ となる。そしてそれはもともと 15 個あったから,全部数えると $15\times4=60$ 個あるよねっていう話。

ちょっと分かってきたかも。

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