数IAIIB 高校数学の解法

【数IIB微分積分】直線と曲線の共有点を求める(北海道大2020)

座標平面上に 2 つの放物線 $C_1:y=2x^2$ と $C_2:y=-x^2+2x-\cfrac{19}{8}$ がある。(北海道大2020)

(1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線をすべて求めよ。

(2) (1)で求めた直線のうち傾きが負であるものを $\ell$ とする。$C_1$,$x$ 軸および $\ell$ が囲む部分の面積を求めよ。

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直線と曲線の共有点を求める

(1)から始めます。

接線を求めるので,まずは式を微分して接線の傾きを求めましょう。

$C_1:y=2x^2$

$y’=4x$

接線が$C_1$と接する点を $(t,2t^2)$ とすると,接線の方程式は

$y-2t^2=4t(x-t)$
$y=4tx-4t^2+2t^2$
$y=4tx-2t^2$ ・・・①

$C_2$ との共有点を求めると

$4tx-2t^2=-x^2+2x-\cfrac{19}{8}$
$x^2+4tx-2x-2t^2+\frac{19}{8}=0$
$x^2+2(2t-1)x-2t^2+\cfrac{19}{8}=0$

$C_2$ と 1 点を共有するので,判別式 $D=0$ が成り立つ。

$\cfrac{D}{4}=(2t-1)^2+2t^2-\cfrac{19}{8}=0$
$4t^2-4t+1+2t^2-\cfrac{19}{8}=0$
$6t^2-4t-\cfrac{11}{8}=0$
$t=\cfrac{2\pm\sqrt{4+\cfrac{66}{8}}}{6}$
$=\cfrac{2\pm\sqrt{4+\cfrac{33}{4}}}{6}$
$=\cfrac{2\pm\sqrt{\cfrac{49}{4}}}{6}$
$=\cfrac{2\pm\cfrac{7}{2}}{6}$
$=\cfrac{1}{3}\pm\cfrac{7}{12}$
$=\cfrac{11}{12},-\cfrac{1}{4}$

これを①に代入して

$y=4\cdot\cfrac{11}{12}x-2\Big(\cfrac{11}{12}\big)^2$
$=\cfrac{11}{3}x-\cfrac{121}{72}$ (答え)

また

$y=4\Big(-\cfrac{1}{4}\Big)x-2\Big(-\cfrac{1}{4}\Big)^2$
$=-x-\cfrac{1}{8}$ (答え)

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三角形の面積を利用する

(2)に進みます。

傾きが負の直線だから,(1)より $\ell$ は

$\ell: y=-x-\cfrac{1}{8}$

とりあえず,$\ell$ と $x$ 軸の接点を求めておきます。

$-x-\cfrac{1}{8}=0$ として
$x=-\cfrac{1}{8}$

これ,面積どう求める?

積分区間を 2 つに分けますかね。

確かに,区間を $\Big[-\cfrac{1}{4},-\cfrac{1}{8}\enspace\Big]$ と $\Big[-\cfrac{1}{8},\enspace 0\enspace\Big]$ で分けて計算するのも一つの手なんだけど,この形なら,区間 $\Big[-\cfrac{1}{4},\enspace 0\enspace\Big]$ で積分して,三角形の面積を引くのが普通。

知ってると積分計算がだいぶラクになるから,覚えておいたほうがいいだろうね。

$\displaystyle S_1=\int_{\scriptsize{-\cfrac{1}{4}}}^0 2x^2\enspace dx$
$=\Big[\cfrac{2}{3}x^3\Big]_{\scriptsize{-\cfrac{1}{4}}}^0$
$=0-\cfrac{2}{3}\Big(-\cfrac{1}{4}\Big)^3$
$=\cfrac{1}{96}$

三角形の底辺の長さは

$\Big|-\cfrac{1}{8}-\Big(-\cfrac{1}{4}\enspace\Big)\Big|=\cfrac{1}{8}$

高さは,$\ell$ に $x=-\cfrac{1}{4}$ を代入して

$-\Big(-\cfrac{1}{4}\Big)-\cfrac{1}{8}=\cfrac{1}{8}$

よって,三角形の面積は

$S_2=\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{1}{8}\cdot\cfrac{1}{8}=\cfrac{1}{128}$

したがって

$S=S_1-S_2$
$=\cfrac{1}{96}-\cfrac{1}{128}$

分母が大きくなりました。通分するときはいったん素因数分解して最小公倍数を考えましょう。

$=\cfrac{1}{3\cdot2^5}-\cfrac{1}{2^7}$
$=\cfrac{2^2-3}{3\cdot2^7}$
$=\cfrac{1}{384}$ (答え)

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