北海道大数IAIIB高校数学の解法

北海道大2018理系第3問【数IA整数・確率】整数が9の倍数であることを示す/条件付き確率

数字の 2 が書かれたカードが 2 枚,同様に,数字の 0, 1, 8 が書かれたカードがそれぞれ 2 枚,あわせて 8 枚のカードがある。これらから 4 枚を取り出し,横一列に並べてできる自然数を $n$ とする。ただし,0 のカードが左から 1 枚または 2 枚現れる場合は,$n$ は 3 桁または 2 桁の自然数とそれぞれ考える。例えば,左から順に 0, 0, 1, 1 の数字のカードが並ぶ場合の $n$ は 11 である。(北海道大2018)

(1) $a,b,c,d$ は整数とする。$1000a+100b+10c+d$ が 9 の倍数になることと $a+b+c+d$ が 9 の倍数になることは同値であることを示せ。

(2) $n$ が 9 の倍数である確率を求めよ。

(3) $n$ が偶数であったとき,$n$ が 9 の倍数である確率を求めよ。

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整数が9の倍数であることを示す

(1)から始めます。

整数の式が 9 の倍数であるということは,式が 9×(整数) で表すことができるということです。そこで,たとえば 1000 を 999 と 1 に分ける,という考え方で式変形していきます。

$1000a+100b+10c+d$
$=999a+a+99b+b+9c+c+d$
$=9(111a+11b+c)+a+b+c+d$

与式は 9 の倍数だから,$a+b+c+d$ は 9 の倍数である。したがって,同値である。(答え)

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9の倍数である確率

(2)に進みます。

(1)で証明したことを利用しましょう。

$n=1000a+100b+10c+d$

とすると,$n$ が 9 の倍数のとき,$a+b+c+d$ は 9 の倍数である。この場合の組み合わせは
(0, 0, 1, 8), (8, 8, 1, 1), (8, 8, 2, 0) の 3 通り。

(i) (0, 0, 1, 8) のとき

初めの 0 を引く方法は 2 通り,次の 0 は残り 1 枚なので 1 通り,1 と 8 はそれぞれ 2 通りずつあるので,カードを引く組み合わせは $2\cdot1\cdot2\cdot2$ 通りあります。

そして,これらは (8, 0, 1, 0) や (0, 1, 8, 0) など様々な順番で引くことがあります。4 つの数の並べ方は 4! 通りあります。

さらに 0 が 2 つあるので,2! で割ります。

何で 2! で割るの?

2 つの 0 を区別しないからです。例えば,カードに色を塗って,赤い 0 と青い 0 があるとします。2 つの 0 は別なものだから,(0, 0, 1, 8)を並べ替えたとき,その組み合わせは 4! です。

このとき,たとえば,(0[赤], 8, 0[青], 1) の順に引いたときと,(0[青], 8, 0[赤], 1)の順に引いたとき,これらは 2 通りとして数えています。しかし,実際には 0 には色がないので,この 2 つは 1 通りとして数えなければなりません。2 通りを 1 通りにするには 2 で割ればよいことになります。

2 じゃなくて 2! ですか?

そう,もし,0 が 3 つあったら,3! で割る。たとえば,赤,青,黄のカードの並べかたは 3! = 6 通りあるけど,これらの色を区別しないなら 1 通りにしないといけない。だから,6 で割ることになる。

確率を求めます。8 枚から 4 枚選ぶから,全事象は $8\cdot7\cdot6\cdot5$ になります。

$\cfrac{2\cdot2\cdot2\cdot1\cdot\cfrac{4!}{2!}}{8\cdot7\cdot6\cdot5}=\cfrac{1}{70}$

(ii) (1, 1, 8, 8) のとき

1 と 8 が 2 枚ずつあるので,それぞれ $2!$ で割ります。

$\cfrac{2\cdot1\cdot2\cdot1\cdot\cfrac{4!}{2!\cdot2!}}{8\cdot7\cdot6\cdot5}=\cfrac{1}{70}$

(iii) (0, 2, 8, 8) のとき

8 が 2 枚あるので,2! で割ります。

$\cfrac{2\cdot1\cdot2\cdot2\cdot\cfrac{4!}{2!}}{8\cdot7\cdot6\cdot5}=\cfrac{2}{35}$

したがって

$\cfrac{2}{35}+\cfrac{1}{70}+\cfrac{2}{35}=\cfrac{9}{70}$ (答え)

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条件付き確率を求める

(3)に進みます。

これ,条件付き確率。

まず,$n$ が偶数になる確率を考えます。

$d$ が偶数であれば,$n$ は偶数になります。

また,カードを $a,b,c,d$ の順に引くことと,初めに $d$ を引いて,$d,a,b,c$ の順に引くことは同じであることに注意しましょう。

同じってのがピンと来ない。

はじめに 8 枚のカードから 4 枚引いたとして,それが(0, 1, 2, 8)だったとします。このとき,これらを並べ替えた(1, 0, 2, 8)や(8, 2, 1, 0)なども数えていくことになるので,最初に引いたカードを $a$ の場所に置いても,$d$ の場所においても,作ることのできる組み合わせの数は結局,同じです。

どっちでも同じ結論に至るから,順番変えても良いってこと。

初めに偶数を引く方法は 6 通り,あとは残りの 7 枚から 3 枚引くので,$7\cdot6\cdot5$ 通りです。

$\cfrac{6\cdot7\cdot6\cdot5}{8\cdot7\cdot6\cdot5}=\cfrac{3}{4}$

次に,$n$ が偶数かつ,$n$ が 9 の倍数である確率を考えます。

(2)より,$n$ が 9 の倍数になる組み合わせは(0, 0, 1,8),(1, 1, 8, 8),(0, 2, 8, 8)だったので,それぞれについて考えていきます。

(i) (0, 0, 1, 8)のとき

$n$ が偶数なら,$d$ は偶数なので,$d$ は 0 か 8 です。

$d=0$ のとき

上で述べたように,$d,a,b,c$ の順に引くとすると,初めに 0 を引いて,残りの 3 枚を引くことになります。初めの 0 を引く方法は 2 通り,次の 0 は 1 通り,1 と 8 はそれぞれ 2 通りずつあるので,$2\cdot1\cdot2\cdot2$ 通りです。

また,$a,b,c$ の 3 枚は(0, 1, 8)や(8, 0, 1) など様々な組み合わせがあり,数えると 3! 通りです。

よって

$2\cdot1\cdot2\cdot2\cdot3!=48$ 通り

2! で割らないの?

割らない。2! で割るっていう話は,並べ替えを数えるときに数字の重複があると数えすぎちゃうから,2! で割ろうということだった。ここでは,$a,b,c$ だけ並べ替える,つまり 0, 1, 8 を並べ替えるから数字の重複はない。


$d=8$ のとき

同様に初めに 8 を引いて,残りの 0, 0, 1 を並べ替えるとすると,今度は数字の重複があるので 2! で割ります。

$2\cdot2\cdot1\cdot2\cdot\cfrac{3!}{2!}=24$ 通り

(ii) (1, 1, 8, 8) のとき

$d=8$ のとき

最初に 8 を引くから 2 通り。最初の 1 が 2 通りで,次の 1 が 1 通り。最後の 8 が 1 通りか。

そうそう,そんな感じ。あとは,1, 1, 8 を並べ替えるから数字の重複があるよね。

$2\cdot2\cdot1\cdot1\cdot\cfrac{3!}{2!}=12$ 通り

(iii) (0, 2, 8, 8)のとき

$d=0$ のとき

$2\cdot2\cdot2\cdot1\cdot\cfrac{3!}{2!}=24$ 通り

$d=2$ のとき

$2\cdot2\cdot2\cdot1\cdot\cfrac{3!}{2!}=24$ 通り

$d=8$ のとき

初めに 8 を引くとすると,残りは 0, 2, 8 で,これら 3 枚を並べ替えるときは数字の重複はないので,2! で割らないように。

$2\cdot2\cdot2\cdot1\cdot3!=48$ 通り

よって,確率は

$\cfrac{48+24+12+24+24+48}{8\cdot7\cdot6\cdot5}=\cfrac{3}{28}$

したがって,条件付き確率は

$\cfrac{\enspace\cfrac{3}{28}\enspace}{\cfrac{3}{4}}=\cfrac{1}{7}$ (答え)

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