北海道大数IAIIB高校数学の解法

北海道大2018文系第2問【数IA二次関数】最小値を場合分け・最小値の最大値

$a$ と $b$ は実数とし,関数 $f(x)=x^2+ax+b$ の $0\leqq x\leqq1$ における最小値を $m$ とする。

(1) $m$ を $a$ と $b$ で表せ。

(2) $a+2b\leqq2$ を満たす $a$ と $b$ で $m$ を最大にするものを求めよ。また,このときの $m$ の値を求めよ。

(北海道大2018)

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平方完成と場合分けを考える

(1)から進めます。

まずは関数がどういうグラフになるかを考えます。そのためにやることと言えば平方完成でした。

最初に平方完成って,あとで数IIとか習ううちに案外忘れたりするから,初心に返って復習。

$f(x)=x^2+ax+b$ として
$f(x)=\Big(x+\cfrac{a}{2}\Big)^2-\cfrac{a^2}{4}+b$

ここから,場合分けをしていきます。

(i) $-\cfrac{a}{2}<0$ のとき

$m=f(0)=b$

(ii) $0\leqq-\cfrac{a}{2}<1$ のとき

$m=f\Big(-\cfrac{a}{2}\Big)=-\cfrac{a^2}{4}+b$

(iii) $1\leqq-\cfrac{a}{2}$ のとき


$m=f(1)=a+b+1$

したがって

$\begin{cases}m=b\enspace\Big(-\cfrac{a}{2}<0\text{のとき}\Big)\\m=-\cfrac{a^2}{4}+b\enspace\Big(0\leqq-\cfrac{a}{2}<1\text{のとき}\Big)\\m=a+b+1\enspace\Big(1\leqq-\cfrac{a}{2}\text{のとき}\Big)\end{cases}$

(答え)

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a と m のグラフを作る

(2)に進みます。

問題文の意味が分からない。

確かに何やっていいか迷うよね。とりあえず,さっき答えが3つできたから,それぞれについて順番に考えるといいよ。

(i) $-\cfrac{a}{2}<0$ のとき

問題文に不等式があるので,いったんここから $a$ と $b$ についての不等式を作っておきます。
$-\cfrac{a}{2}<0$ より $a>0$
また,$a+2b\leqq2$ より
$2b\leqq-a+2$
$b\leqq-\cfrac{a}{2}+1$
これで,一応 $a$ と $b$ の範囲ができあがります。
さらに $m=b$ だから
$m\leqq-\cfrac{a}{2}+1$
ここから,$m=-\cfrac{a}{2}+1$ のときに $m$ が最大になることは分かりますが,$a$ の値が分からないので,これ以上進めません。

どうするの?

とりあえず,次に行く。

(ii) $0\leqq-\cfrac{a}{2}<1$ のとき

不等式を分けて考えると
$0\leqq-\cfrac{a}{2}$
$a\leqq0$
また
$-\cfrac{a}{2}<1$
$a>-2$
2 つの範囲を合わせると
$-2<a\leqq0$
また,$m=-\cfrac{a^2}{4}+b$ なので,これに式を合わせていきます。
$a+2b\leqq2$ より $b\leqq-\cfrac{a}{2}+1$ だから
$-\cfrac{a^2}{4}+b\leqq-\cfrac{a^2}{4}-\cfrac{a}{2}+1$
$m\leqq-\cfrac{a^2}{4}-\cfrac{a}{2}+1$

一応,$m$ の範囲ができました。次に行きます。

(iii) $1\leqq-\cfrac{a}{2}$ のとき

$1\leqq-\cfrac{a}{2}$
$a\leqq-2$
また,$m=a+b+1$ より
$b\leqq-\cfrac{a}{2}+1$
$a+b+1\leqq-\cfrac{a}{2}+1+a+1$
$a+b+1\leqq-\cfrac{a}{2}+a+2$
$m\leqq-\cfrac{a}{2}+a+2$
$m\leqq\cfrac{a}{2}+2$

できあがった式を整理すると

$\begin{cases}m\leqq-\cfrac{a}{2}\enspace\Big(a>0\text{のとき}\Big)\\m\leqq-\cfrac{a^2}{4}-\cfrac{a}{2}+1\enspace\Big(-2<a\leqq0\text{のとき}\Big)\\m\leqq\cfrac{a}{2}+2\enspace\Big(a\leqq-2\text{のとき}\Big)\end{cases}$

答え?

答えじゃない。ここから $m$ の最大が分かる。

ここで,横軸を $a$,縦軸を $m$ とするグラフを書いてみます。

$m\leqq-\cfrac{a^2}{4}-\cfrac{a}{2}+1$ については平方完成するとよいでしょう。平方完成することでどのようなグラフを書けばよいのかが分かります。

$m=-\cfrac{a^2}{4}-\cfrac{a}{2}+1$ 
$=-\cfrac{1}{4}(a^2+2a)+1$
$=-\cfrac{1}{4}(a+1)^2+\cfrac{1}{4}+1$
$=-\cfrac{1}{4}(a+1)^2+\cfrac{5}{4}$

グラフは

こうして,実際にグラフを作ってみると分かることですが,$m$ は $a=-1$ のときに最大値 $\cfrac{5}{4}$ をとることが分かります。

したがって

$m$ は $a=-1$ のとき,最大値 $\cfrac{5}{4}$ (答え)

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