北海道大数IAIIB高校数学の解法

北海道大2017理系第4問【数IA確率】さいころの目と数直線の問題

さいころを続けて投げて,数直線上の点 P を移動させるゲームを行う。初め点 P は原点 0 にいる。さいころを投げるたびに,出た目の数だけ,点 P を現在の位置から正の向きに移動させる。この試行を続けて行い,点 P が 10 に達するか超えた時点でゲームを終了する。$n$ 回目の試行でゲームが終了する確率を $p_n$ とする。(北海道大2017)

(1) $p_{10}=\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^9$ となることを示せ。
(2) $p_9$ の値を求めよ。
(3) $p_3$ の値を求めよ。

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結論の一つ前の状態を考える

(1)から考えていきます。

組み合わせいろいろありそう。

よく考えて。いろいろはない。逆に考えれば 9 回目まではゲーム終了してはいけないのだから,9 回目の時点で P は 10 未満ってことでしょ?

9 回目の時点で P が 10 未満になるのは,1 回目から 9 回目まですべて 1 が出る場合しかありません。そして,10 回目ではさいころの目が何であろうと P は 10 以上となります。

1 回目から 9 回目で 1 が出て,10 回目で 1 から 6 までのいずれかが出ればよいので

$p_{10}=\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^9\times1=\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^9$ (答え)

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反復試行の確率を用いる

(2)に進みます。

9 回目で P が 10 以上ということは,反対に言えば,8 回目で P が 10 未満ということになります。

今度はいくつかパターンあるから場合分けする。

(i) 1 が 8 回出るとき

9 回目は 2 以上であればよい。

$\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^8\times\cfrac{5}{6}=\cfrac{5}{6^9}$

(ii) 1 が 7 回出て,2 が 1 回出るとき

9 回目は 1 以上であればよい。

ここでは,2 が何回目に出るかを考慮する必要があるので,反復試行の確率を用います。

反復試行の確率
$_nC_rp^r(1-p)^{n-r}$

さいころの目が 1 である確率は $\cfrac{1}{6}$,さいころの目が 2 である確率も $\cfrac{1}{6}$ だから
$_8C_1\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^7\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^1\times1=\cfrac{8}{6^8}$
9 回目はさいころの目が 1 以上だから,その確率は 1 ということになります。したがって,式に $\times1$ を書いていますが,省略してもかまいません。

反復試行いまいちピンとこない。

たとえば,1 回目に 2 が出て 2 ~ 8 回目で 1 が出るとき,その確率は $\cfrac{1}{6^8}$ です。
また,2 回目に 2 が出て,それ以外は 1 が出るときも,その確率は同様に $\cfrac{1}{6^8}$ です。
こうして考えてみると 2 が 1 回目~ 8 回目に出るパターンとして 8 通りあるので,$\cfrac{1}{6^8}$ に $_8C_1=8$ をかければすべてのパターンを数えたことになります。

$_8C_1$ ってそういうことか。

そう。2 が 1 回目に出るときと 2 回目に出るときはあくまで別パターンだから,8 通りの確率をそれぞれ足さないといけない。ただし,8 通りの確率は全部同じだから,かけ算しているわけ。


次に 1 が 6 回出る場合を考えます。このとき,8 回目までに 1 以外,つまり 2 以上が 2 回出ることになります。
ところが,これでは 8 回目の時点で必ず 9 以上になってしまいます。したがって,1 が 6 回以下のパターンは存在しません。

(i)と(ii)より

$p_9=\cfrac{5}{6^9}+\cfrac{8}{6^8}=\cfrac{53}{6^9}$ (答え)

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再び,結論の一つ前の状態を考える

(3)に進みます。

3 回目で P が 10 以上ということは,反対に言えば 2 回目で P が 10 未満ということになります。
また,さいころの目は 6 までなので,2 回目で P が 4 以上でなければ,3 回目で P が 10 以上になりません。
よって,2 回目で P が 4 から 9 の場合を考えればよいことになります。

たとえば,2 回目で P が 4 になる組み合わせは (1回目,2回目) = (1,3)(2,2)(3,1) で,このとき 3 回目で 6 が出れば P が 10 になります。
さいころを 2 回ふったときに(1,3)(2,2)(3,1)が出る確率はそれぞれ $\cfrac{1}{6^2}$ で,さいころで 6 が出る確率は $\cfrac{1}{6}$ だから,この場合の確率は $\cfrac{1}{6^2}\times3\times\cfrac{1}{6}$ という計算になります。

表にしてみると

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|c|}\hline 2\text{回目}&\text{組み合わせ}&3\text{回目}\\\hline 4&(1,3)(2,2)(3,1)&6\\\hline 5&(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)&5,6\\\hline6&(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1)&4,5,6\\\hline 7&(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)&3,4,5,6\\\hline8&(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)&2,3,4,5,6\\\hline9&(3,6)(4,5)(5,4)(6,3)&1,2,3,4,5,6\\\hline\end{array}$

したがって

$\cfrac{1}{6^2}\times3\times\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6^2}\times4\times\cfrac{2}{6}+\cfrac{1}{6^2}\times5\times\cfrac{3}{6}+\cfrac{1}{6^2}\times6\times\cfrac{4}{6}+\cfrac{1}{6^2}\times5\times\cfrac{5}{6^2}+\cfrac{1}{6^2}\times4\times\cfrac{6}{6}$
$=\cfrac{1}{6^3}(3+8+15+24+25+24)$
$=\cfrac{99}{6^3}=\cfrac{11}{24}$ (答え)

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