【数IA確率】さいころの目と数直線の問題(北海道大2017理系第4問)

さいころを続けて投げて，数直線上の点 P を移動させるゲームを行う。初め点 P は原点 0 にいる。さいころを投げるたびに，出た目の数だけ，点 P を現在の位置から正の向きに移動させる。この試行を続けて行い，点 P が 10 に達するか超えた時点でゲームを終了する。$n$ 回目の試行でゲームが終了する確率を $p_n$ とする。(北海道大2017)

(1) $p_{10}=\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^9$ となることを示せ。
(2) $p_9$ の値を求めよ。
(3) $p_3$ の値を求めよ。

結論の一つ前の状態を考える

(1)から考えていきます。

9 回目の時点で P が 10 未満になるのは，1 回目から 9 回目まですべて 1 が出る場合しかありません。そして，10 回目ではさいころの目が何であろうと P は 10 以上となります。

1 回目から 9 回目で 1 が出て，10 回目で 1 から 6 までのいずれかが出ればよいので

$p_{10}=\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^9\times1=\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^9$ (答え)

反復試行の確率を用いる

(2)に進みます。

9 回目で P が 10 以上ということは，反対に言えば，8 回目で P が 10 未満ということになります。

(i) 1 が 8 回出るとき

9 回目は 2 以上であればよい。

$\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^8\times\cfrac{5}{6}=\cfrac{5}{6^9}$

(ii) 1 が 7 回出て，2 が 1 回出るとき

9 回目は 1 以上であればよい。

ここでは，2 が何回目に出るかを考慮する必要があるので，反復試行の確率を用います。

さいころの目が 1 である確率は $\cfrac{1}{6}$，さいころの目が 2 である確率も $\cfrac{1}{6}$ だから
$_8C_1\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^7\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^1\times1=\cfrac{8}{6^8}$
9 回目はさいころの目が 1 以上だから，その確率は 1 ということになります。したがって，式に $\times1$ を書いていますが，省略してもかまいません。

たとえば，1 回目に 2 が出て 2 ～ 8 回目で 1 が出るとき，その確率は $\cfrac{1}{6^8}$ です。
また，2 回目に 2 が出て，それ以外は 1 が出るときも，その確率は同様に $\cfrac{1}{6^8}$ です。
こうして考えてみると 2 が 1 回目～ 8 回目に出るパターンとして 8 通りあるので，$\cfrac{1}{6^8}$ に $_8C_1=8$ をかければすべてのパターンを数えたことになります。

次に 1 が 6 回出る場合を考えます。このとき，8 回目までに 1 以外，つまり 2 以上が 2 回出ることになります。
ところが，これでは 8 回目の時点で必ず 9 以上になってしまいます。したがって，1 が 6 回以下のパターンは存在しません。

(i)と(ii)より

$p_9=\cfrac{5}{6^9}+\cfrac{8}{6^8}=\cfrac{53}{6^9}$ (答え)

再び，結論の一つ前の状態を考える

(3)に進みます。

3 回目で P が 10 以上ということは，反対に言えば 2 回目で P が 10 未満ということになります。
また，さいころの目は 6 までなので，2 回目で P が 4 以上でなければ，3 回目で P が 10 以上になりません。
よって，2 回目で P が 4 から 9 の場合を考えればよいことになります。

たとえば，2 回目で　P が 4 になる組み合わせは (1回目，2回目) = (1,3)(2,2)(3,1) で，このとき 3 回目で 6 が出れば P が 10 になります。
さいころを 2 回ふったときに(1,3)(2,2)(3,1)が出る確率はそれぞれ $\cfrac{1}{6^2}$ で，さいころで 6 が出る確率は $\cfrac{1}{6}$ だから，この場合の確率は $\cfrac{1}{6^2}\times3\times\cfrac{1}{6}$ という計算になります。

表にしてみると

$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|c|c|}\hline 2\text{回目}&\text{組み合わせ}&3\text{回目}\\\hline 4&(1,3)(2,2)(3,1)&6\\\hline 5&(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)&5,6\\\hline6&(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1)&4,5,6\\\hline 7&(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)&3,4,5,6\\\hline8&(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)&2,3,4,5,6\\\hline9&(3,6)(4,5)(5,4)(6,3)&1,2,3,4,5,6\\\hline\end{array}$

したがって

$\cfrac{1}{6^2}\times3\times\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{6^2}\times4\times\cfrac{2}{6}+\cfrac{1}{6^2}\times5\times\cfrac{3}{6}+\cfrac{1}{6^2}\times6\times\cfrac{4}{6}+\cfrac{1}{6^2}\times5\times\cfrac{5}{6^2}+\cfrac{1}{6^2}\times4\times\cfrac{6}{6}$
$=\cfrac{1}{6^3}(3+8+15+24+25+24)$
$=\cfrac{99}{6^3}=\cfrac{11}{24}$ (答え)