数IAIIB 高校数学の解法

【数IA三角比】回転した長方形が重複する面積を求める(千葉大)

横 $2a$,縦 $2b$ の長方形を長方形の中心のまわりに角 $\theta$ だけ回転させる。回転後の長方形ともとの長方形とが重なり合う部分の面積 $S(\theta)$ を求めよ。ただし,長方形の中心とはその2つの対角線の交点とし,長方形はそれを含む平面内で回転するものとする。また,回転角 $\theta$ は0以上,長方形のいずれかの頂点が隣の頂点に達するまでの角度以下に取るものとする。(千葉大2012)

引き算ですよね。

そうね。図を描いてみると分かるけど,長方形の面積から三角形を引いていく感じ。また,同じ大きさの三角形が2つずつあって,ようはそれらの三角形の面積さえ分かれば答えが出る。

んー,長さ分かりそうで分からない。

解き方は一つじゃないけど,今回はアイデアをなるべくシンプルに持っていく。その代わり計算量多いかも。

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連立方程式を導く

まず,面積を求める式はこのようになります。
$S(\theta)=2a\cdot2b-2\cdot\cfrac{1}{2}ce-2\cdot\cfrac{1}{2}fh$
$=4ab-ce-fh$
また,図より,長方形の横の長さ $2a$ と縦の長さ $2b$ はこのようになります。
$c+d+f=2a$ ・・・①
$e+g+h=2b$ ・・・②
さらに,大きな三角形から次の関係を導くことができます。
$d\sin\theta=e$,$d\cos\theta=c$

$\sin\theta$ は $\cfrac{高さ}{斜辺}$ だから斜辺×$\cfrac{高さ}{斜辺}$=高さ。$\cos\theta$ は $\cfrac{\text{底辺}}{\text{斜辺}}$ だから,斜辺×$\cfrac{\text{底辺}}{\text{斜辺}}$=底辺。

同様に小さな三角形では
$g\sin\theta=f$,$g\cos\theta=h$
これらを $S(\theta)$ に代入すると
$S(\theta)=4ab-d\cos\theta\cdot d\sin\theta-g\sin\theta\cdot g\cos\theta$
$S(\theta)=4ab-(d^2+g^2)\sin\theta\cos\theta$
また,①,②は
$d\cos\theta+d+g\sin\theta=2a$
$d(1+\cos\theta)+g\sin\theta=2a$
$g=\cfrac{2a-d(1+\cos\theta)}{\sin\theta}$ ・・・③
$d\sin\theta+g+g\cos\theta=2b$
$d\sin\theta+g(1+\cos\theta)=2b$
$d=\cfrac{2b-g(1+\cos\theta)}{\sin\theta}$ ・・・④

似たような形になった。

これから連立解くけど,形がそっくりってのは計算する上で手がかりになる。

③を変形して
$g=\cfrac{2a}{\sin\theta}-d\cfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta}$
③に④を代入して
$g=\cfrac{2a}{\sin\theta}-\cfrac{2b-g(1+\cos\theta)}{\sin\theta}\cdot\cfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta}$
$g$ を左側にまとめていく
$g\sin^2\theta=2a\sin\theta-\{2b-g(1+\cos\theta)\}(1+\cos\theta)$
$g\sin^2\theta=2a\sin\theta-2b(1+\cos\theta)+g(1+\cos\theta)^2$
$g\sin^2\theta-g(1+\cos\theta)^2=2a\sin\theta-2b(1+\cos\theta)$
$g\sin^2\theta-g(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)=2a\sin\theta-2b(1+\cos\theta)$
$g(\sin^2\theta-1-2\cos\theta-\cos^2\theta)=2a\sin\theta-2b(1+\cos\theta)$

左辺が $\sin$ と $\cos$ が混ざってゴチャゴチャしているので $\cos$ に合わせみます。

三角比の公式より $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ だから
$g(1-\cos^2\theta-1-2\cos\theta-\cos^2\theta)=2a\sin\theta-2b(1+\cos\theta)$
$g(-2\cos^2\theta-2\cos\theta)=2a\sin\theta-2b(1+\cos\theta)$
$g(\cos^2\theta+\cos\theta)=b(1+\cos\theta)-a\sin\theta$
$g=\cfrac{b(1+\cos\theta)-a\sin\theta}{\cos\theta(1+\cos\theta)}$

ここから,$S(\theta)$ にあてはめるために $g^2$ を求めます。


$g^2=\cfrac{b^2(1+\cos\theta)^2-2ab\sin\theta(1+\cos\theta)+a^2\sin^2\theta}{\cos^2\theta(1+\cos\theta)^2}$

次に $d$ を求めますが,$g$ の式の文字を入れ替えたものだから

$d^2=\cfrac{a^2(1+\cos\theta)^2-2ab\sin\theta(1+\cos\theta)+b^2\sin^2\theta}{\cos^2\theta(1+\cos\theta)^2}$
$d^2+g^2=\cfrac{(a^2+b^2)(1+\cos\theta)^2-4ab\sin\theta(1+\cos\theta)+(a^2+b^2)\sin^2\theta}{\cos^2\theta(1+\cos\theta)^2}$
$=\cfrac{(a^2+b^2)(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)-4ab\sin\theta(1+\cos\theta)+(a^2+b^2)\sin^2\theta}{\cos^2\theta(1+\cos\theta)^2}$
$=\cfrac{(a^2+b^2)(1+2\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta)-4ab\sin\theta(1+\cos\theta)}{\cos^2\theta(1+\cos\theta)^2}$

上でやったことと同じように $\sin$ を $\cos$ に合わせます

$=\cfrac{(a^2+b^2)(1+2\cos\theta+\cos^2\theta+1-\cos^2\theta)-4ab\sin\theta(1+\cos\theta)}{\cos^2\theta(1+\cos\theta)^2}$
$=\cfrac{(a^2+b^2)(2+2\cos\theta)-4ab\sin\theta(1+\cos\theta)}{\cos^2\theta(1+\cos\theta)^2}$
$=\cfrac{2(a^2+b^2)(1+\cos\theta)-4ab\sin\theta(1+\cos\theta)}{\cos^2\theta(1+\cos\theta)^2}$
$=\cfrac{2(a^2+b^2)-4ab\sin\theta}{\cos^2\theta(1+\cos\theta)}$

これを $S(\theta)$ に代入すると

$S(\theta)=4ab-(d^2+g^2)\sin\theta\cos\theta$
$=4ab-\cfrac{2(a^2+b^2)\sin\theta-4ab\sin^2\theta}{\cos\theta(1+\cos\theta)}$

通分して

$=\cfrac{4ab\cos\theta(1+\cos\theta)-2(a^2+b^2)\sin\theta+4ab\sin^2\theta}{\cos\theta(1+\cos\theta)}$
$=\cfrac{4ab\{\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta\}-2(a^2+b^2)\sin\theta}{\cos\theta(1+\cos\theta)}$
$=\cfrac{4ab(1+\cos\theta)-2(a^2+b^2)\sin\theta}{\cos\theta(1+\cos\theta)}$ (答え)

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