【数IA確率】反復試行の確率のしくみ(千葉大)

反復試行の気づき方

〔問題〕$\boxed{1}$ から $\boxed{6}$ まで６枚のカードが袋に入っている。この中から１枚のカードを引き，数字を確認したあとカードを袋に戻す。これを３回行う。このとき $\boxed{1}$ がちょうど１回出る確率を求めよ。

このとき大事なのは，$\boxed{1}$ がちょうど１回出るとき，残りの２回は $\boxed{1}$ 以外である，つまり余事象に気づくことです。

反復試行の公式を使うタイミングは，まずさいころを何回か投げるような繰り返しの動作があることです。また，その繰り返しはそれぞれ独立していなければなりません。

つまり，１回目に１が出ようが２回目に１が出ようが，その確率は同じ $\cfrac{1}{6}$ であるというのが反復試行を使う条件です。

反復試行の式の作り方

実際に確率を求めてみましょう。
カードを引いて $\boxed{1}$ が出る確率が $\cfrac{1}{6}$ であるとき，$\boxed{1}$ 以外が出る確率は $\cfrac{5}{6}$ です。
カードを３回引くとき，求める確率は $\cfrac{1}{6}\times\cfrac{5}{6}\times\cfrac{5}{6}$ と表すことができます。しかし，これだけではありません。
$\boxed{1}$ が出てくるのは１回目，２回目，３回目のときがあります。つまり
$\bold{\cfrac{1}{6}}\times\cfrac{5}{6}\times\cfrac{5}{6}$
$\cfrac{5}{6}\times\bold{\cfrac{1}{6}}\times\cfrac{5}{6}$
$\cfrac{5}{6}\times\cfrac{5}{6}\times\bold{\cfrac{1}{6}}$
の３通りが存在します。
確率は
$\bold{\cfrac{1}{6}}\times\cfrac{5}{6}\times\cfrac{5}{6}+\cfrac{5}{6}\times\bold{\cfrac{1}{6}}\times\cfrac{5}{6}+\cfrac{5}{6}\times\cfrac{5}{6}\times\bold{\cfrac{1}{6}}$
$=3\times\cfrac{1}{6}\times\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^2=\cfrac{25}{72}$

そこで，この３通りを $_3C_1$ と表します。
$_3C_1\Big(\cfrac{1}{6}\Big)^1\Big(\cfrac{5}{6}\Big)^2=\cfrac{25}{72}$

$C$ を使う意味を考える

〔問題〕コインを４回投げ，表が２回出る確率を求めよ。

表が出る確率は $\cfrac{1}{2}$，裏が出る確率も $\cfrac{1}{2}$ です。
反復試行の確率を用いて
$_4C_2\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^2\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^2$
$=\cfrac{4\cdot3}{2}\cdot\cfrac{1}{4}\cdot\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{8}$

$\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^2$ が２つありますが，一つは表が出る確率の $\cfrac{1}{2}$ で，もう一つは裏が出る確率の $\cfrac{1}{2}$ です。混乱しないように注意します。

まず，コインを４回投げて表が２回出る組合せは $_4C_2$ 通りです。

$_4C_2=\cfrac{4\cdot3}{2}$ となります。これはコインの表が２回出るとして，何回目と何回目に出るかを考えています。
例えば，表が１回目と２回目に出るとき，１回目と３回目に出るとき・・・と考えていきます。表が１回目と２回目に出ることを $(1,2)$ として表すと
$(1,2),(1,3),(1,4)$
$(2,1),(2,3),(2,4)$
$(3,1),(3,2),(3,4)$
$(4,1),(4,2),(4,3)$
$4\times3=12$ 通りが考えられます。
しかし，$(1,2)$ と $(2,1)$ は１回目と２回目，２回目と１回目ということだから，これらは同じことです。
考えてみると，$(1,2),(2,1)$ のように本来の２倍で数えてしまっているので，２で割れば計算が合うことになります。よって
$\cfrac{4\times3}{2}=_4C_2=6$ 通り

このように数えすぎている部分を割り算で消去するのが $C$ の計算です。

$C$ の数え方をさらに考える

〔問題〕コインを６回投げ，表が３回出る確率を求めよ。

$_6C_3\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^3\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^3$
$=\cfrac{6\cdot5\cdot4}{2\cdot3}\times\cfrac{1}{64}=\cfrac{5}{16}$

最初は１～６回目の中から１つ選んで６通り。次は残り５回から１つ選ぶので５通り。最後は，さらにその残りから選ぶので４通りです。
例えば，表が１，２，３回目で出たとき，それを $(1,2,3)$ と表すと
$(1,2,3),(1,3,2)$
$(2,1,3),(2,3,1)$
$(3,1,2),(3,2,1)$
と $2\times3=6$ 通りの組合せが考えられます。
これも先ほどの問題と同じで，$6\times5\times4=120$ 通りの中には，実際には１つの組合せにつき６通りの重複があるので割り算によって消去する必要があります。