千葉大数III高校数学の解法

【数III複素数平面】点 w の描く図形を求める(千葉大)

複素数平面上の点 $z$ $\Big(z\not=-\cfrac{i}{2}\Big)$ に対して,$w=\cfrac{z+2i}{2z+i}$ とする。(千葉大2017)

(1) 点 $z$ が原点を中心とする半径 $1$ の円周上を動くとき,点 $w$ の描く図形を求めよ。

(2) 点 $z$ が点 $\alpha$ を中心とする半径 $1$ の円周上を動くとき,点 $w$ は原点を中心とする半径 $r$ の円周を描く。このような $r$ と $\alpha$ の組をすべて求めよ。

ad

z の式になおす

(1)から進めます。まず,原点を中心とする半径 $1$ の円を式にすると
$|z|=1$
と表すことができます。絶対値が登場したら,公式 $z\bar{z}=|z|^2$ を思い出しましょう。
$|z|^2=1$ だから $z\bar{z}=1$

これを使うために,$w$ の式をいったん $z$ の式に変形するのがお約束。


$w=\cfrac{z+2i}{2z+i}$
$(2z+i)w=z+2i$
$2zw+iw=z+2i$
$2zw-z=2i-iw$

最初は式変形慣れないと思うけど,いったん展開して $z$ がついているものを左側に寄せていく感じで。


$(2w-1)z=2i-iw$
$z=\cfrac{2i-iw}{2w-1}$ $\Big(w\not=\cfrac{1}{2}\Big)$

$w\not=\cfrac{1}{2}$ ってどこから出てくるんでしたっけ?

分母が $0$ になってはいけないっていうところから。$2w-1\not=0$ だから,変形して $w\not=\cfrac{1}{2}$ となる。数IIIではこれを書いておくのもお約束。

次に,共役な複素数 $\bar{z}$ を使います。
$z\bar{z}=\bigg(\cfrac{2i-iw}{2w-1}\bigg)\bigg(\overline{\cfrac{2i-iw}{2w-1}}\bigg)$
$=\bigg(\cfrac{2i-iw}{2w-1}\bigg)\bigg(\cfrac{\bar{2}\space\bar{i}-\bar{i}\bar{w}}{\bar{2}\space\bar{w}-\bar{1}}\bigg)$
共役の部分の整理のやり方ですが,まず上のようにバー(横棒)を分割します。$2$ は実数なので共役は存在せず $\bar{2}=2$ です。$i$ の部分の共役は $\bar{i}=-i$,$\bar{w}$ は他に表しようがないのでそのまま $\bar{w}$ としておきます。
$=\bigg(\cfrac{2i-iw}{2w-1}\bigg)\bigg(\cfrac{-2i+i\bar{w}}{2\bar{w}-1}\bigg)$
$z\bar{z}=1$ より
$\bigg(\cfrac{2i-iw}{2w-1}\bigg)\bigg(\cfrac{-2i+i\bar{w}}{2\bar{w}-1}\bigg)=1$
分数の形だとやっかいなので,分母をはらいます。
$(2i-iw)(-2i+i\bar{w})=(2w-1)(2\bar{w}-1)$
ここで,いったん $i$ をカッコの外に追い出しておくと計算が楽になります。
$i^2(2-w)(-2+\bar{w})=(2w-1)(2\bar{w}-1)$
$i^2=-1$ だから
$-(2-w)(-2+\bar{w})=(2w-1)(2\bar{w}-1)$
$(2-w)(2-\bar{w})=(2w-1)(2\bar{w}-1)$
展開して
$4-2\bar{w}-2w+w\bar{w}=4w\bar{w}-2w-2\bar{w}+1$
$3w\bar{w}=3$
$w\bar{w}=1$
$|w|^2=1$
$|w|=1$
したがって,原点を中心とする半径 $1$ の円。(答え)

ad

式どうしをくらべる

(2)に進みます。まず,問題文より
$|z-\alpha|=1$
$|w|=r$
が成り立ちます。また $w=\cfrac{z+2i}{2z+i}$ もあったので,この辺りで考えていくことになります。

$r$ と $\alpha$ の組み合わせということだから,$z$ や $w$ を消去して $r$ と $\alpha$ の式を作るってのが方針。

ぜんぜん消去できそうな感じしませんが。

とりあえず式変形の頼る方向で考えてみようか。複素平面って案外使える公式少ないからできることも限られているしね。

$|w|=r$ より
$\Big|\cfrac{z+2i}{2z+i}\Big|=r$
$\Big|\cfrac{z+2i}{2z+i}\Big|^2=r^2$
$\bigg(\cfrac{z+2i}{2z+i}\bigg)\bigg(\overline{\cfrac{z+2i}{2z+i}}\bigg)=r^2$
$\bigg(\cfrac{z+2i}{2z+i}\bigg)\bigg(\cfrac{\bar{z}-2i}{2\bar{z}-i}\bigg)=r^2$
$(z+2i)(\bar{z}-2i)=r^2(2z+i)(2\bar{z}-i)$
展開して
$z\bar{z}-2iz+2i\bar{z}+4=4r^2z\bar{z}-2r^2iz+2r^2i\bar{z}+r^2$
$(4r^2-1)z\bar{z}-2(r^2-1)iz+2(r^2-1)i\bar{z}=4-r^2$
ここから因数分解してみます。このとき $z\bar{z}$ の係数を取り除いておくことをポイントとして覚えましょう。
$z\bar{z}-\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}iz+\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\bar{z}=\cfrac{4-r^2}{4r^2-1}$

この因数分解ニガテ。


$(z+a)(\bar{z}+b)$ のような形に持ち込みます。展開すると
$(z+a)(\bar{z}+b)=z\bar{z}+bz+a\bar{z}+ab$
移項して
$(z+a)(\bar{z}+b)-ab=z\bar{z}+bz+a\bar{z}$
となります。ここから右辺の $z$ の係数を左辺の $b$ の場所に,右辺の $\bar{z}$ の係数を左辺の $a$ の場所におけば因数分解できそうです。
$\Big\{z+\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\Big\}\Big\{\bar{z}-\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\Big\}+\Big\{\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\Big\}^2=\cfrac{4-r^2}{4r^2-1}$
$\Big\{z+\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\Big\}\Big\{\bar{z}-\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\Big\}=\cfrac{4-r^2}{4r^2-1}-\Big\{\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\Big\}^2$
$=\cfrac{4-r^2}{4r^2-1}+\cfrac{4(r^2-1)^2}{(4r^2-1)^2}$

計算ミスに気を付けて。


$=\cfrac{(4-r^2)(4r^2-1)+4(r^2-1)^2}{(4r^2-1)^2}$
$=\cfrac{16r^2-4-4r^4+r^2+4r^4-8r^2+4}{(4r^2-1)^2}$
$=\cfrac{9r^2}{(4r^2-1)^2}$
よって
$\Big\{z+\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\Big\}\Big\{\overline{z+\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i}\Big\}=\cfrac{9r^2}{(4r^2-1)^2}$
$\bigg|z+\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\bigg|^2=\cfrac{9r^2}{(4r^2-1)^2}$
ここで2乗を外していきますが,やり方に注意が必要です。左辺が絶対値なので,右辺は正の値でなければいけません。$r$ は円の半径なので $r$ > $0$ です。よって $9r^2$ の平方根は $3r$ で問題ありません。
しかし,$(4r^2-1)^2$ の平方根を $4r^2-1$ としてしまうと,$r$ が $\frac{1}{2}$ より小さいときにマイナスになってしまいます。よって,絶対値の記号が必要です。
$\bigg|z+\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\bigg|=\cfrac{3r}{|4r^2-1|}$
ここまで来たら,始めの $|z-\alpha|=1$ を思い出しましょう。2つをくらべると
$\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i=-\alpha$,$\cfrac{3r}{|4r^2-1|}=1$
ということが言えます。先に $r$ を求めると
$3r=|4r^2-1|$
絶対値を外すには両辺を2乗すればよいです。
$9r^2=(4r^2-1)^2$
$9r^2=16r^4-8r^2+1$
$16r^4-17r^2+1=0$
$r^2=A$ として
$16A^2-17A+1=0$
$(16A-1)(A-1)=0$
$A=1,\cfrac{1}{16}$
$r^2=1,\cfrac{1}{16}$
$r=1,\cfrac{1}{4}$
あとは,それぞれ上の式に代入して $\alpha$ を求めます。
$r=1$ のとき
$\alpha=-\cfrac{2(1^2-1)}{4\cdot1^2-1}i=0$
$r=\cfrac{1}{4}$ のとき
$\alpha=-\cfrac{2\Big(\cfrac{1}{16}-1\Big)}{4\cdot\cfrac{1}{16}-1}i$
$=-\cfrac{-\cfrac{15}{8}}{-\cfrac{3}{4}}\space i=-\cfrac{15}{6}i$
$=-\cfrac{5}{2}i$
したがって
$(r,\alpha)=(1,0),\Big(\cfrac{1}{4},-\cfrac{5}{2}i\Big)$ (答え)

タイトルとURLをコピーしました