【数III複素数平面】点 w の描く図形を求める(千葉大2017第9問)

z の式になおす

(1)から進めます。まず，原点を中心とする半径 $1$ の円を式にすると
$|z|=1$
と表すことができます。絶対値が登場したら，公式 $z\bar{z}=|z|^2$ を思い出しましょう。
$|z|^2=1$ だから $z\bar{z}=1$

$w=\cfrac{z+2i}{2z+i}$
$(2z+i)w=z+2i$
$2zw+iw=z+2i$
$2zw-z=2i-iw$

$(2w-1)z=2i-iw$
$z=\cfrac{2i-iw}{2w-1}$ $\Big(w\not=\cfrac{1}{2}\Big)$

次に，共役な複素数 $\bar{z}$ を使います。
$z\bar{z}=\bigg(\cfrac{2i-iw}{2w-1}\bigg)\bigg(\overline{\cfrac{2i-iw}{2w-1}}\bigg)$
$=\bigg(\cfrac{2i-iw}{2w-1}\bigg)\bigg(\cfrac{\bar{2}\space\bar{i}-\bar{i}\bar{w}}{\bar{2}\space\bar{w}-\bar{1}}\bigg)$
共役の部分の整理のやり方ですが，まず上のようにバー（横棒）を分割します。$2$ は実数なので共役は存在せず $\bar{2}=2$ です。$i$ の部分の共役は $\bar{i}=-i$，$\bar{w}$ は他に表しようがないのでそのまま $\bar{w}$ としておきます。
$=\bigg(\cfrac{2i-iw}{2w-1}\bigg)\bigg(\cfrac{-2i+i\bar{w}}{2\bar{w}-1}\bigg)$
$z\bar{z}=1$ より
$\bigg(\cfrac{2i-iw}{2w-1}\bigg)\bigg(\cfrac{-2i+i\bar{w}}{2\bar{w}-1}\bigg)=1$
分数の形だとやっかいなので，分母をはらいます。
$(2i-iw)(-2i+i\bar{w})=(2w-1)(2\bar{w}-1)$
ここで，いったん $i$ をカッコの外に追い出しておくと計算が楽になります。
$i^2(2-w)(-2+\bar{w})=(2w-1)(2\bar{w}-1)$
$i^2=-1$ だから
$-(2-w)(-2+\bar{w})=(2w-1)(2\bar{w}-1)$
$(2-w)(2-\bar{w})=(2w-1)(2\bar{w}-1)$
展開して
$4-2\bar{w}-2w+w\bar{w}=4w\bar{w}-2w-2\bar{w}+1$
$3w\bar{w}=3$
$w\bar{w}=1$
$|w|^2=1$
$|w|=1$
したがって，原点を中心とする半径 $1$ の円。(答え)

式どうしをくらべる

(2)に進みます。まず，問題文より
$|z-\alpha|=1$
$|w|=r$
が成り立ちます。また $w=\cfrac{z+2i}{2z+i}$ もあったので，この辺りで考えていくことになります。

$|w|=r$ より
$\Big|\cfrac{z+2i}{2z+i}\Big|=r$
$\Big|\cfrac{z+2i}{2z+i}\Big|^2=r^2$
$\bigg(\cfrac{z+2i}{2z+i}\bigg)\bigg(\overline{\cfrac{z+2i}{2z+i}}\bigg)=r^2$
$\bigg(\cfrac{z+2i}{2z+i}\bigg)\bigg(\cfrac{\bar{z}-2i}{2\bar{z}-i}\bigg)=r^2$
$(z+2i)(\bar{z}-2i)=r^2(2z+i)(2\bar{z}-i)$
展開して
$z\bar{z}-2iz+2i\bar{z}+4=4r^2z\bar{z}-2r^2iz+2r^2i\bar{z}+r^2$
$(4r^2-1)z\bar{z}-2(r^2-1)iz+2(r^2-1)i\bar{z}=4-r^2$
ここから因数分解してみます。このとき $z\bar{z}$ の係数を取り除いておくことをポイントとして覚えましょう。
$z\bar{z}-\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}iz+\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\bar{z}=\cfrac{4-r^2}{4r^2-1}$

$(z+a)(\bar{z}+b)$ のような形に持ち込みます。展開すると
$(z+a)(\bar{z}+b)=z\bar{z}+bz+a\bar{z}+ab$
移項して
$(z+a)(\bar{z}+b)-ab=z\bar{z}+bz+a\bar{z}$
となります。ここから右辺の $z$ の係数を左辺の $b$ の場所に，右辺の $\bar{z}$ の係数を左辺の $a$ の場所におけば因数分解できそうです。
$\Big\{z+\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\Big\}\Big\{\bar{z}-\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\Big\}+\Big\{\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\Big\}^2=\cfrac{4-r^2}{4r^2-1}$
$\Big\{z+\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\Big\}\Big\{\bar{z}-\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\Big\}=\cfrac{4-r^2}{4r^2-1}-\Big\{\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\Big\}^2$
$=\cfrac{4-r^2}{4r^2-1}+\cfrac{4(r^2-1)^2}{(4r^2-1)^2}$

$=\cfrac{(4-r^2)(4r^2-1)+4(r^2-1)^2}{(4r^2-1)^2}$
$=\cfrac{16r^2-4-4r^4+r^2+4r^4-8r^2+4}{(4r^2-1)^2}$
$=\cfrac{9r^2}{(4r^2-1)^2}$
よって
$\Big\{z+\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\Big\}\Big\{\overline{z+\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i}\Big\}=\cfrac{9r^2}{(4r^2-1)^2}$
$\bigg|z+\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\bigg|^2=\cfrac{9r^2}{(4r^2-1)^2}$
ここで２乗を外していきますが，やり方に注意が必要です。左辺が絶対値なので，右辺は正の値でなければいけません。$r$ は円の半径なので $r$ ＞ $0$ です。よって $9r^2$ の平方根は $3r$ で問題ありません。
しかし，$(4r^2-1)^2$ の平方根を $4r^2-1$ としてしまうと，$r$ が $\frac{1}{2}$ より小さいときにマイナスになってしまいます。よって，絶対値の記号が必要です。
$\bigg|z+\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i\bigg|=\cfrac{3r}{|4r^2-1|}$
ここまで来たら，始めの $|z-\alpha|=1$ を思い出しましょう。２つをくらべると
$\cfrac{2(r^2-1)}{4r^2-1}i=-\alpha$，$\cfrac{3r}{|4r^2-1|}=1$
ということが言えます。先に $r$ を求めると
$3r=|4r^2-1|$
絶対値を外すには両辺を２乗すればよいです。
$9r^2=(4r^2-1)^2$
$9r^2=16r^4-8r^2+1$
$16r^4-17r^2+1=0$
$r^2=A$ として
$16A^2-17A+1=0$
$(16A-1)(A-1)=0$
$A=1,\cfrac{1}{16}$
$r^2=1,\cfrac{1}{16}$
$r=1,\cfrac{1}{4}$
あとは，それぞれ上の式に代入して $\alpha$ を求めます。
$r=1$ のとき
$\alpha=-\cfrac{2(1^2-1)}{4\cdot1^2-1}i=0$
$r=\cfrac{1}{4}$ のとき
$\alpha=-\cfrac{2\Big(\cfrac{1}{16}-1\Big)}{4\cdot\cfrac{1}{16}-1}i$
$=-\cfrac{-\cfrac{15}{8}}{-\cfrac{3}{4}}\space i=-\cfrac{15}{6}i$
$=-\cfrac{5}{2}i$
したがって
$(r,\alpha)=(1,0),\Big(\cfrac{1}{4},-\cfrac{5}{2}i\Big)$ (答え)