【スマホで読む・わかりやすい】共通テスト試行H30年度数学IA【解説・正解・問題】
第５問
ある日，太郎さんと花子さんのクラスでは，数学の授業で先生から次の問題1が宿題として出された。下の問いに答えよ。なお，円周上に異なる 2 点をとった場合，弧は二つできるが，本問題において，弧は二つあるうちの小さい方を指す。
問題1 正三角形 ABC の外接円の弧 BC 上に点 X があるとき，AX = BX + CX が成り立つことを証明せよ。
(1)
問題1は次のような構想をもとにして証明できる。
線分 AX 上に BX = B’X となる点B’ をとり，B と B’ を結ぶ。
AX = AB’ + B’X なので，AX = BX + CX を示すには，AB’ = CX を示せばよく，AB = CX を示すには，二つの三角形 $\boxed{\text{ ア }}$ と $\boxed{\text{ イ }}$ が合同であることを示せばよい。
$\boxed{\text{ ア }}$，$\boxed{\text{ イ }}$ に当てはまるものを，次の⓪～⑦のうちから一つずつ選べ。ただし，$\boxed{\text{ ア }}$，$\boxed{\text{ イ }}$ の解答の順序は問わない。
⓪ △ABB’ ① △AB’C ② △ABX ③ △AXC
④ △BCB’ ⑤ △BXB’ ⑥ △B’XC ⑦ △CBX
正解と解説
ア,イ 0,7
△ABB’ と △CBX において
△ABC は正三角形より BA＝BC$\cdots$①
円周角の定理より
∠BAX＝BCX$\cdots$②
また
∠ACB＝∠AXB＝60°$\cdots$③
△BXB’ は二等辺三角形であり底角が等しいので
∠XBB’＝∠XB’B=60°
よって，△BXB’ は正三角形である。
さらに
∠XBC＝∠XBB’－∠CBB’＝60°－∠CBB’
∠B’BA＝∠CBA－∠CBB’＝60°－∠CBB’
よって
∠XBC＝∠B’BA$\cdots$④
①，②，④より1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
△ABB’≡△CBX
太郎さんたちは，次の日の数学の授業で問題1を証明した後，点 X が弧 BC 上にないときについて先生に質問をした。その質問に対して先生は，一般に次の定理が成り立つことや，その定理と問題1で証明したことを使うと，下の問題2が解決できることを教えてくれた。
定理 平面上の点 X と正三角形 ABC の各頂点からの距離 AX，BX，CX について，点 X が三角形 ABC の外接円の弧 BC上にないときは，AX ＜ BX + CX が成り立つ。
問題2 三角形 PQR について，各頂点からの距離の和 PY + QY + RY が最小になる点 Y はどのような位置にあるかを求めよ。
(2) 太郎さんと花子さんは問題2について，次のような会話をしている。
花子 : 問題1で証明したことは，二つの線分 BX と CX の長さの和を一つの線分 AX の長さに置き換えられるってことだよね。
太郎 : 例えば，下の図の三角形 PQR で辺 PQ を1辺とする正三角形をかいてみたらどうかな。ただし，辺 QR を最も長い辺とするよ。 辺 PQ に関して点 R とは反対側に点 S をとって，正三角形 PSQ を かき，その外接円をかいてみようよ。
花子 : 正三角形 PSQ の外接円の弧 PQ 上に点 T をとると，PT と QT の長さの和は線分 $\boxed{\text{ ウ }}$ の長さに置き換えられるから，PT + QT + RT = $\boxed{\text{ ウ }}$ + RT になるね。
太郎 : 定理と問題1で証明したことを使うと問題2の点 Y は，点 $\boxed{\text{ エ }}$ と点 $\boxed{\text{ オ }}$ を通る直線と $\boxed{\text{ カ }}$ との交点になることが示せるよ。
花子 : でも，∠QPR が $\boxed{\text{ キ }}\degree$ より大きいときは，点 $\boxed{\text{ エ }}$ と点 $\boxed{\text{ オ }}$ を通る直線と $\boxed{\text{ カ }}$ が交わらないから，∠QPR が $\boxed{\text{ キ }}\degree$ より小さいときという条件がつくよね。
太郎 : では，∠QPR が $\boxed{\text{ キ }}\degree$ より大きいときは，点 Y はどのような点になるのかな。
(2)(i)
$\boxed{\text{ ウ }}$ に当てはまるものを，次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
⓪ PQ ① PS ② QS
③ RS ④ RT ⑤ ST
正解と解説
ウ 5
(1) より PT+QT=ST だから
PT+QT+RT＝ST+RT
(2)(ii)
$\boxed{\text{ エ }}$，$\boxed{\text{ オ }}$ に当てはまるものを，次の⓪～④ のうちから一つずつ選べ。ただし，$\boxed{\text{ ウ }}$，$\boxed{\text{ オ }}$ の解答の順序は問わない。
⓪ P ① Q ② R ③ S ④ T
正解と解説
(ii) エ，オ 2,3
(2)(iii)
$\boxed{\text{ カ }}$カ に当てはまるものを，次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
⓪ 辺 PR ① 辺 PS ② 辺 QS
③ 弧 PQ ④ 弧 PS ⑤ 弧 QS
正解と解説
(iii) カ 3
(i) の点 T を Y に置き換えて考える。
直線 SR 上に点 Y があるとき，SY+RY は最小になる。
(2)(iv)
$\boxed{\text{ キ }}$ に当てはまるものを，次の⓪～⑥ のうちから一つ選べ。
⓪ 30 ① 45 ② 60 ③ 90
④ 120 ⑤ 135 ⑥ 150
正解と解説
(iv) キ 4
直線 SR が弧 PQ と交わるときの ∠QPR の最大は以下の図のように，点 Y が直線 SR 上にあるとき。
このとき，△PSQ は正三角形で ∠SPQ=60° より ∠QPR=120°
(2)(v)
∠QPR が，$\boxed{\text{ キ }}\degree$ より「小さいとき」と「大きいとき」の点 Y について正しく述べたものを，それぞれ次の⓪～⑥のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを選んでもよい。
小さいとき $\boxed{\text{ ク }}$ 大きいとき $\boxed{\text{ ケ }}$
⓪ 点 Y は，三角形 PQR の外心である。
① 点 Y は，三角形 PQR の内心である。
② 点 Y は，三角形 PQR の重心である。
③ 点 Y は，∠PYR = ∠QYP = ∠RYQ となる点である。
④ 点 Y は，∠PQY + ∠PRY + ∠QPR = 180° となる点である。
⑤ 点 Y は，三角形 PQR の三つの辺のうち，最も短い辺を除く二つの辺の交点である。
⑥ 点 Y は，三角形 PQR の三つの辺のうち，最も長い辺を除く二つの辺の交点である。
正解と解説
(v) ク，ケ 3,6
(Ⅰ) ∠QPR が120°より小さいとき
円周角の定理より，∠PQS=∠PYS=60°
また，円に内接する四角形の向かい合う角の和は 180° より
∠PSQ+∠PYQ=180°
60°+∠PYQ=180°
∠PYQ=120°
よって，∠SYQ=60°
したがって，∠PYR=120°，∠QYR=120°となり，∠PYR=∠QYP=∠RYQ が成り立つ。
(Ⅱ) ∠QPR が120°より大きいとき
点 Y が弧 PQ 以外にあるとき，[定理] AX＜BX+CY より
SY＜PY+QY
SY+RY＜PY+QY+RY…①
また，点 Y が弧 PQ 上にあるときは SY＝PY+QY が成り立つので
SY+RY＝PY+QY+RY$\cdots$②
①と②を比較すると，PY+QY+RY が最小となるのは②の方である。よって，点 Y は弧 PQ 上にある。
点 Y を弧 PQ 上に置いて考えると，[問題1]の AX＝BX+CX より SY＝QY+PY が成り立つので
SY+RY＝QY+PY+RY
このとき，点 Y が弧 PQ 上の点であるという条件の下，SY+RY が最も短くなる場合を考えると，点 Y が 点 P の位置にあるときである。
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