【スマホで読む・わかりやすい】共通テスト試行H29年度数学IIB【解説・正解・問題】
第４問
四面体 OABC について，OA ⊥ BC が成り立つための条件を考えよう。次の問いに答えよ。ただし， $\overrightarrow{\text{OA}}=\vec{a}$， $\overrightarrow{\text{OB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{|\text{OC}|}=\vec{c}$ とする。
(1)
O$(0,0,0)$，A$(1,1,0)$，B$(1,0,1)$，C$(0,1,1)$ のとき，$\vec{a}\cdot\vec{b}=\boxed{\text{ ア }}$ となる。
$\overrightarrow{\text{OA}}\not=\vec{0}$，$\overrightarrow{\text{BC}}\not=\vec{0}$ であることに注意すると，$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{BC}}=\boxed{\text{ イ }}$ により OA ⊥ BC である。
正解と解説
$\boxed{\text{ ア }}$，$\boxed{\text{ イ }}$ $1$，$0$
$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot1+1\cdot0+0\cdot1=1$
また
$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{BC}}=(1,1,0)\cdot(0-1,1-0,1-1)$
$=1\cdot(-1)+1\cdot1+0\cdot0=0$
(2)
四面体 OABC について，OA ⊥ BC となるための必要十分条件を，次の ⓪ 〜 ③ のうちから一つ選べ。 $\boxed{\text{ ウ }}$
⓪ $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{c}$
① $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}$
② $\vec{b}\cdot\vec{c}=0$
③ $|\vec{a}|^2=\vec{b}\cdot\vec{c}$
正解と解説
$\boxed{\text{ ウ }}$ ①
$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{BC}}=0$
$\vec{a}\cdot(\vec{c}-\vec{b})=0$
$\vec{a}\cdot\vec{c}-\vec{a}\cdot\vec{b}=0$
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}$
(3)
OA ⊥ BC が常に成り立つ四面体を，次の ⓪ 〜 ⑤ のうちから一つ選べ。 $\boxed{\text{ エ }}$
⓪ OA = OB かつ ∠AOB = ∠AOC であるような四面体 OABC
① OA = OB かつ ∠AOB = ∠BOC であるような四面体 OABC
② OB = OC かつ ∠AOB = ∠AOC であるような四面体 OABC
③ OB = OC かつ ∠AOC = ∠BOC であるような四面体 OABC
④ OC = OA かつ ∠AOC = ∠BOC であるような四面体 OABC
⑤ OC = OA かつ ∠AOB = ∠BOC であるような四面体 OABC
正解と解説
$\boxed{\text{ エ }}$ ②
必要十分条件である $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}$ が成り立つかどうかを検討していくとよい。
⓪ OA=OB より $|\vec{a}|=|\vec{b}|$，∠AOB=∠AOC=$\theta$ とおくと
$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
$\cos\theta=\cfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\cdots$①
$\vec{a}\cdot\vec{c}=|\vec{a}||\vec{c}|\cos\theta\cdots$②
①を②に代入
$\vec{a}\cdot\vec{c}=|\vec{a}||\vec{c}|\cfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
$\vec{a}\cdot\vec{c}=\cfrac{|\vec{c}|}{|\vec{b}|}\vec{a}\cdot\vec{b}$
上の式は，もしOB=OC，つまり $|\vec{b}|=|\vec{c}|$ であれば $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}$ が成り立つが，選択肢の文には書かれていない。したがって，常に成り立つとは言えない。
① 同様に選択肢の条件から
$|\vec{a}|=|\vec{b}|$
$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
$\cos\theta=\cfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\cdots$①
$\vec{b}\cdot\vec{c}=|\vec{b}||\vec{c}|\cos\theta\cdots$②
①を②に代入
$\vec{b}\cdot\vec{c}=|\vec{b}||\vec{c}|\cfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
$\vec{b}\cdot\vec{c}=\cfrac{|\vec{c}|}{|\vec{a}|}\vec{a}\cdot\vec{b}$
これより $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}$ が成り立つとは言えない。したがって，不適。
②
$|\vec{b}|=|\vec{c}|$
$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
$\cos\theta=\cfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\cdots$①
$\vec{a}\cdot\vec{c}=|\vec{a}||\vec{c}|\cos\theta\cdots$②
①を②に代入
$\vec{a}\cdot\vec{c}=|\vec{a}||\vec{c}|\cfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
$\vec{a}\cdot\vec{c}=\cfrac{|\vec{c}|}{|\vec{b}|}\vec{a}\cdot\vec{b}$
$|\vec{b}|=|\vec{c}|$ だから
$\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{b}$
したがって，適する。
③ 上と同様にして
$\vec{b}\cdot\vec{c}=\cfrac{|\vec{b}|}{|\vec{c}|}\vec{a}\cdot\vec{c}$
したがって，不適。
④ 上と同様にして
$\vec{b}\cdot\vec{c}=\cfrac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}\vec{a}\cdot\vec{c}$
したがって，不適。
⑤ 上と同様にして
$\vec{b}\cdot\vec{c}=\cfrac{|\vec{c}|}{|\vec{a}|}\vec{a}\cdot\vec{b}$
したがって，不適。
(4) OC = OB = AB = AC を満たす四面体 OABC について，OA ⊥ BC が成り立つことを下のように証明した。
【証明】
線分 OA の中点を D とする。
$\overrightarrow{\text{BD}}=\cfrac{1}{2}\Big(\boxed{\text{ オ }}+\boxed{\text{ カ }}\Big)$，$\overrightarrow{\text{OA}}=\boxed{\text{ オ }}-\boxed{\text{ カ }}$ により
$\overrightarrow{\text{BD}}\cdot\overrightarrow{\text{OA}}=\cfrac{1}{2}\Big\{|\boxed{\text{ オ }}|^2-|\boxed{\text{ カ }}|^2\Big\}$ である。
また，$|\boxed{\text{ オ }}|=|\boxed{\text{ カ }}|$ により $\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{BD}}=0$ である。
同様に，$\boxed{\text{ キ }}$ により $\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{CD}}=0$ である。
このことから $\overrightarrow{\text{OA}}\not=\vec{0}$，$\overrightarrow{\text{BC}}\not=\vec{0}$ であることに注意すると，
$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{OA}}\cdot(\overrightarrow{\text{BD}}-\overrightarrow{\text{CD}})=0$ により OA ⊥ BC である。
(4)(i)
$\boxed{\text{ オ }}$，$\boxed{\text{ カ }}$ に当てはまるものを，次の ⓪ 〜 ③ のうちからそれぞれ一つずつ選べ。ただし，同じものを選んでもよい。
⓪ $\overrightarrow{\text{BA}}$ ① $\overrightarrow{\text{BC}}$
② $\overrightarrow{\text{BD}}$ ③ $\overrightarrow{\text{BO}}$
正解と解説
$\boxed{\text{ オ }}$，$\boxed{\text{ カ }}$ ⓪，③
点Bを始点として考えると，点D は OA の中点だから
$\overrightarrow{\text{BD}}=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{BO}})$
また
$\overrightarrow{\text{OA}}=\overrightarrow{\text{BA}}-\overrightarrow{\text{BO}}$
これより
$\overrightarrow{\text{BD}}\cdot\overrightarrow{\text{OA}}=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{BO}})\cdot(\overrightarrow{\text{BA}}-\overrightarrow{\text{BO}})$
$=\cfrac{1}{2}(|\overrightarrow{\text{BA}}|^2-|\overrightarrow{\text{BO}}|^2)$
$|\overrightarrow{\text{BA}}|=|\overrightarrow{\text{BO}}|$ だから
$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{BD}}=0$
(4)(ii)
$\boxed{\text{ キ }}$ に当てはまるものを，次の ⓪ 〜 ④ のうちから一つ選べ。
⓪ $|\overrightarrow{\text{CO}}|=|\overrightarrow{\text{CB}}|$ ① $|\overrightarrow{\text{CO}}|=|\overrightarrow{\text{CA}}|$
② $|\overrightarrow{\text{OB}}|=|\overrightarrow{\text{OC}}|$ ③ $|\overrightarrow{\text{AB}}|=|\overrightarrow{\text{AC}}|$
④ $|\overrightarrow{\text{BO}}|=|\overrightarrow{\text{BA}}|$
正解と解説
$\boxed{\text{ キ }}$ ①
点 C を始点として式を作るとよい。
$\overrightarrow{\text{OA}}=\overrightarrow{\text{CA}}-\overrightarrow{\text{CO}}$
$\overrightarrow{\text{CD}}=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{\text{CA}}+\overrightarrow{\text{CO}})$
これより
$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{CD}}=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{\text{CA}}-\overrightarrow{\text{CO}})(\overrightarrow{\text{CA}}+\overrightarrow{\text{CO}})$
$=\cfrac{1}{2}(|\overrightarrow{\text{CA}}|^2-|\overrightarrow{\text{CO}}|^2)$
$|\overrightarrow{\text{CO}}|=|\overrightarrow{\text{CA}}|$ だから$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{CD}}=0$ である。
(5)
(4)の証明は，OC = OB = AB = AC のすべての等号が成り立つことを条件として用いているわけではない。このことに注意して，OA ⊥ BC が成り立つ四面体を，次の ⓪ 〜 ③ のうちから一つ選べ。 $\boxed{\text{ ク }}$
⓪ OC = AC かつ OB = AB かつ OB $\not=$ OC であるような四面体 OABC
① OC = AB かつ OB = AC かつ OC $\not=$ OB であるような四面体 OABC
② OC = AB = AC かつ OC $\not=$ OB であるような四面体 OABC
③ OC = OB = AC かつ OC $\not=$ AB であるような四面体 OABC
正解と解説
$\boxed{\text{ ク }}$ ⓪
(4)の証明に基づいて△OABと△OACについて展開図を描くと以下のようになる。
このように△OABと△OACがそれぞれ二等辺三角形であれば OA⊥BC が成り立つことが分かる。したがって，⓪が適する。
① 選択肢の条件に基づいて図を描くと，OAとBCは垂直ではない。したがって，不適。
② 上と同様に不適。
③ 上と同様に不適。
※第 5 問については省略
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