【スマホで読む・わかりやすい】共通テスト試行H29年度数学IIB【解説・正解・問題】
第２問
$a$ を定数とする。関数 $f(x)$ に対し，$\displaystyle S(x)=\int_a^x f(t)dt$ とおく。このとき，関数 $S(x)$ の増減から $y=f(x)$ のグラフの概形を考えよう。
(1)
$S(x)$ は3次関数であるとし，$y=S(x)$ のグラフは次の図のように，2点$(-1,0),(0,4)$を通り，点$(2,0)$で$x$軸に接しているとする。
このとき，$S(x)=\Big(x+\boxed{\text{ ア }}\Big)\Big(x-\boxed{\text{ イ }}\Big)^{\boxed{\text{ウ}}}$
である。$S(a)=\boxed{\text{ エ }}$ であるから，$a$ を負の定数とするとき，$a=\boxed{\text{ オカ }}$ である。
正解と解説
$\boxed{\text{ ア }},\boxed{\text{ イ }},\boxed{\text{ ウ }}$ $1$，$2$，$2$
$\boxed{\text{ エ }},\boxed{\text{ オカ }}$ $0$，$-1$
$S(x)$ は $x=-1,2$ のとき $S(x)=0$ となるので$S(x)=(x+1)(x-2)^2$ が成り立つ。$x$ に $-1,2$ を代入したとき，式が $0$ になることを確認する。
また，$\displaystyle S(a)=\int_a^a f(t)dt=0$ である。したがって
$S(a)=(a+1)(a-2)^2=0$
$a=-1,2$
となり，負の定数は $-1$ である。
関数 $S(x)$ は $x=\boxed{\text{ キ }}$ を境に増加から減少に移り，$x=\boxed{\text{ ク }}$ を境に減少から増加に移っている。したがって，関数 $f(x)$ について，$x=\boxed{\text{ キ }}$ のとき $\boxed{\text{ ケ }}$ であり，$x=\boxed{\text{ ク }}$ のとき $\boxed{\text{ コ }}$ である。また，$\boxed{\text{ キ }}<x<\boxed{\text{ ク }}$ の範囲では $\boxed{\text{ サ }}$ である。
$\boxed{\text{ ケ }}$，$\boxed{\text{ コ }}$，$\boxed{\text{ サ }}$ については，当てはまるものを，次の ⓪ 〜 ④ のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。
⓪ $f(x)$ の値は $0$
① $f(x)$ の値は正
② $f(x)$ の値は負
③ $f(x)$ は極大
④ $f(x)$ は極小
$y=f(x)$ のグラフの概形として最も適当なものを，次の ⓪ 〜 ⑤ のうちから一つ選べ。$\boxed{\text{ シ }}$
正解と解説
$\boxed{\text{ キ }},\boxed{\text{ ク }},\boxed{\text{ ケ }},\boxed{\text{ コ }},\boxed{\text{ サ }},\boxed{\text{ シ }}$ $0$，$2$，$⓪$，$⓪$，$②$，$①$
グラフより，関数 $S(x)$ は $x=0$ を境に増加から減少に移り，$x=2$ を境に減少から増加に移っている。つまり，$x=0,2$ で極値をとる。
また，$S(x)$ を微分すると
$\displaystyle S'(x)=\cfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)$
となるので，$f(0)=0$，$f(2)=0$ が成り立つ。
さらに，グラフを見ると $0<x<2$ の範囲で減少しているので，$f(x)$ は負の値をとる。
$y=f(x)$ のグラフの概形を考えると，$S(x)$ は増加→減少→増加であるので，$f(x)$ は正の値→負の値→正の値と変化する。したがって，①があてはまる。
(2)
(1)からわかるように，関数 $S(x)$ の増減から $y=f(x)$ のグラフの概形を考えることができる。$a=0$ とする。次の ⓪ 〜 ④ は $y=S(x)$ のグラフの概形と $y=f(x)$ のグラフの概形の組である。このうち，$\displaystyle S(x)=\int_0^x f(t)dt$ の関係と矛盾するものを二つ選べ。 $\boxed{\text{ ス }}$
正解と解説
$\boxed{\text{ ス }}$ ①，④
$S(x)$ を微分した関数が $f(x)$ であるので，$S(x)$ が増加なら $f(x)$ は正の値，減少なら負の値をとる。この関係に矛盾するものを選べばよい。①は $0<x<1$ の範囲で，$S(x)$ は増加→減少と変化しているのに，$f(x)$ がつねに負の値をとっているので矛盾する。④は$x<0$ の部分で，$S(x)$ が減少しているのに，$f(x)$ が正の値をとっているので矛盾する。
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