共テ・センター数学

【スマホで読む・わかりやすい】共通テスト数学IIB2021第2日程【解説・正解・問題】

第4問 正解
ア 4 イ,ウ 4,5 エ,オカ 5,16
キ 5 ク 4 ケ,コ 1,1 サシ 15
ス,セ 1,2 ソタ 41 チツテ 153

ad

〔1〕

$S_n=5^n-1$ とすると

$a_1=S_1$
$=5^1-1=4$

・・・ア

また,$n\geqq2$ のとき

$S_n-S_{n-1}=a_n$ より

$a_n=5^n-1-(5^{n-1}-1)$
$=5^n-5^{n-1}$
$=5\cdot5^{n-1}-5^{n-1}$
$=(5-1)\cdot5^{n-1}$
$=4\cdot5^{n-1}$

・・・イ,ウ

また

$\cfrac{1}{a_n}=\cfrac{1}{4\cdot5^{n-1}}$
$=\cfrac{1}{4}\cdot\Big(\cfrac{1}{5}\Big)^{n-1}$

よって,$\cfrac{1}{a_n}$ は,初項 $\cfrac{1}{4}$,公比 $\cfrac{1}{5}$ の等比数列である。

$\displaystyle\sum_{k=1}^n\cfrac{1}{a_k}$

これは,等比数列 $\Big\{\cfrac{1}{a_k}\Big\}$ の和だから,公式 $\cfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ を用いて

$=\cfrac{\cfrac{1}{4}\Big\{1-\Big(\cfrac{1}{5}\Big)^n\Big\}}{1-\cfrac{1}{5}}$
$=\cfrac{\cfrac{1}{4}(1-5^{-n})}{\cfrac{4}{5}}$
$=\cfrac{\cfrac{1}{4}(1-5^{-n})\times20}{\cfrac{4}{5}\times20}$
$=\cfrac{5}{16}(1-5^{-n})$

・・・エ,オカ,キ

ad

〔2〕(1)

$n=1$ のとき $3n+1=3\cdot1+1=4$ だから,4 枚のタイルの配置を考えると

$t_1=4$ (通り)

・・・ク


右下隅のタイルを縦向きに置いた場合,置き方は 1 通りだから,全体で $r_n\times1$ 通り。

右下隅のタイルを横向きに置いた場合も,$t_{n-1}$ を除いた部分の置き方は 1 通りしかない。よって,全体で $t_{n-1}\times1$ 通り。

よって,$n\geqq2$ のとき

$t_n=r_n+t_{n-1}$

したがって,$A=1$,$B=1$ である。

・・ケ,コ

また

$t_2=r_2+t_1=11+4=15$

・・・サシ

右下隅のタイルを横向きに置いた場合,その上にさらに横向きのタイルを 2 枚置く方法がある。この場合,全体で $r_{n-1}\times1$ 通り。

また,右下隅のタイルを横向きに置き,その上にタイルを縦向きに置くこともできる。この場合,全体で $t_{n-1}\times1$ 通り。

さらに,右下隅のタイルを横向きに置き,その上にタイルを横向きに置く。この場合,全体で $t_{n-1}\times2$ 通り。

よって

$r_n=r_{n-1}+2t_{n-1}$

したがって,$C=1$,$D=2$ である。

・・・ス,セ

ad

〔2〕(2)

$2n=6$ より $n=3$ とすると

$r_3=r_2+2t_2$
$=11+2\cdot15=41$

・・・ソタ

また,$2n=8$ より $n=4$ とすると

$r_4=r_3+2t_3$
$=41+2t_3$

ここで

$t_3=r_3+t_2=41+15=56$

したがって

$r_4=41+2\cdot56$
$=153$

・・・チツテ

問題文

第3問~第5問は,いずれか2問を選択し,解答しなさい。

第4問 (選択問題)

〔1〕 自然数 $n$ に対して,$S_n=5^n-1$ とする。さらに,数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $S_n$ であるとする。このとき,$a_1=\boxed{\sf{ア}}$ である。また,$n\geqq 2$ のとき

$a_n=\boxed{\sf{イ}}\cdot\boxed{\sf{ウ}}^{n-1}$

である。この式は $n=1$ のときにも成り立つ。

上で求めたことから,すべての自然数 $n$ に対して

$\displaystyle\sum_{k=1}^n\cfrac{1}{a_k}=\cfrac{\boxed{\sf{エ}}}{\boxed{\sf{オカ}}}(1-\boxed{\sf{キ}}^{-n})$

が成り立つことがわかる。 

〔2〕 太郎さんは和室の畳を見て,畳の敷き方が何通りあるかに興味を持った。ちょうど手元にタイルがあったので,畳をタイルに置き換えて,数学的に考えることにした。

縦の長さが 1,横の長さが 2 の長方形のタイルが多数ある。それらを縦か横の向きに,隙間も重なりもなく敷き詰めるとき,その敷き詰め方をタイルの「配置」と呼ぶ。

上の図のように,縦の長さが 3,横の長さが $2n$ の長方形を $R_n$ とする。$3n$ 枚のタイルを用いた $R_n$ 内の配置の総数を $r_n$ とする。

$n=1$ のときは,下の図のように $r_1=3$ である。

また,$n=2$ のときは,下の図のように $r_2=11$ である。

(1) 太郎さんは次のような図形 $T_n$ 内の配置を考えた。

$(3n+1)$ 枚のタイルを用いた $T_n$ 内の配置の総数を $t_n$ とする。$n=1$ のときは,$t_1=\boxed{\sf{ク}}$ である。

さらに,太郎さんは $T_n$ 内の配置について,右下隅のタイルに注目して次のような図をかいて考えた。

この図から,2 以上の自然数 $n$ に対して

$t_n=Ar_n+Bt_{n-1}$

が成り立つことがわかる。ただし,$A=\boxed{\sf{ケ}}$,$B=\boxed{\sf{コ}}$ である。
以上から,$t_2=\boxed{\sf{サシ}}$ であることがわかる。

同様に,$R_2$ の右下隅のタイルに注目して次のような図をかいて考えた。

この図から,2 以上の自然数 $n$ に対して

$r_n=Cr_{n-1}+Dt_{n-1}$

が成り立つことがわかる。ただし,$C=\boxed{\sf{ス}}$,$D=\boxed{\sf{セ}}$ である。

(2) 畳を縦の長さが 1,横の長さが 2 の長方形とみなす。縦の長さが 3,横の長さが 6 の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき,敷き詰め方の総数は $\boxed{\sf{ソタ}}$ である。

また,縦の長さが 3,横の長さが 8 の長方形の部屋に畳を敷き詰めるとき,敷き詰め方の総数は $\boxed{\sf{チツテ}}$ である。

タイトルとURLをコピーしました