【スマホで読む・わかりやすい】共通テスト数学IIB2021第2日程【解説・正解・問題】
第3問 正解
アイ 45 ウエ 15 オカ 47 キ,ク a,5
ケ,コサ,シ 3,11,8 ス 1 セ 4
ソタチ.ツテ 112.16
トナニ.ヌネ127.84 ノ 2 ハ.ヒ1.5
(1)
留学生全体における上級コースに登録した留学生の割合は
$100-(20+35)=45$
よって,45 %
・・・アイ
$X$ の平均(期待値)$E(X)$ は
$E(X)=10\cdot\cfrac{20}{100}+8\cdot\cfrac{35}{100}+6\cdot\cfrac{45}{100}$
$=2+\cfrac{14}{5}+\cfrac{27}{10}$
$=\cfrac{15}{2}$
・・・ウエ
また,分散 $V(X)$ は
$\Big(10-\cfrac{15}{2}\Big)^2\cdot\cfrac{20}{100}+\Big(8-\cfrac{15}{2}\Big)^2\cdot\cfrac{35}{100}+\Big(6-\cfrac{15}{2}\Big)^2\cdot\cfrac{45}{100}$
$=\Big(\cfrac{5}{2}\Big)^2\cdot\cfrac{1}{5}+\Big(\cfrac{1}{2}\Big)^2\cdot\cfrac{7}{20}+\Big(-\cfrac{3}{2}\Big)^2\cdot\cfrac{9}{20}$
$=\cfrac{5}{4}+\cfrac{7}{80}+\cfrac{81}{80}$
$=\cfrac{47}{20}$
・・・オカ
次に,確率変数 $Y$ について考える。
確率変数 $Y$ は二項分布 $B\Big(a,\cfrac{20}{100}\Big)$ に従う。
したがって,$Y$ の平均 $E(Y)$ は
$E(Y)=a\cdot\cfrac{20}{100}=\cfrac{a}{5}$
・・・キク
また,確率変数 $Z$ は二項分布 $B\Big(a,\cfrac{45}{100}\Big)$ に従う。
$\cfrac{\sigma(Z)}{\sigma(Y)}=\cfrac{\sqrt{a\cdot\cfrac{45}{100}\cdot\Big(1-\cfrac{45}{100}\Big)}}{\sqrt{a\cdot\cfrac{20}{100}\cdot\Big(1-\cfrac{20}{100}\Big)}}$
$=\sqrt{\cfrac{a\cdot\cfrac{9}{20}\cdot\cfrac{11}{20}}{a\cdot\cfrac{1}{5}\cdot\cfrac{4}{5}}}$
$=\sqrt{\cfrac{\cfrac{99}{400}}{\cfrac{4}{25}}}$
$=\sqrt{\cfrac{\cfrac{99}{400}\times400}{\cfrac{4}{25}\times400}}$
$=\sqrt{\cfrac{99}{64}}$
$=\cfrac{3\sqrt{11}}{8}$
・・・ケ,コサ,シ
ここで,$a=100$ として
$W=\cfrac{Y-m}{\sigma}$
$=\cfrac{Y-100\times\cfrac{20}{100}}{\sqrt{100\cdot\cfrac{20}{100}\cdot\Big(1-\cfrac{20}{100}\Big)}}$
$=\cfrac{Y-20}{4}$
とすると,$W$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従う。
$Y=28$ とすると
$W=\cfrac{28-20}{4}=2$
求める確率 $p$ は,正規分布表を用いて
$p=P(28\leqq Y)=0.5-0.4772=0.0228$
したがって,最も適当なものは① 0.023 である。
・・・ス
(2)
標本平均の標準偏差は
$\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\cfrac{\sqrt{640}}{\sqrt{40}}$
$=\sqrt{16}=4$
・・・セ
母標準偏差を $\sigma$ とする。標本の大きさ $n$ が大きいとき,母平均 $m$ に対する信頼度95%の信頼区間は
$\Big[\bar{X}-1.96\cdot\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$,$\bar{X}+1.96\cdot\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\Big]$
$\bar{X}=120$,$\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=4$ を用いて
$C_1=120-1.96\times4=112.16$
・・・ソタチ.ツテ
$C_2=120+196\times4=127.84$
・・・トナニ.ヌネ
(3)
$n=40$ と $n=50$ の場合を比べると
$\sqrt{40}<\sqrt{50}$
$\cfrac{1}{\sqrt{40}}>\cfrac{1}{\sqrt{50}}$
$\cfrac{\sigma}{\sqrt{40}}>\cfrac{\sigma}{\sqrt{50}}$
$-\cfrac{\sigma}{\sqrt{40}}<-\cfrac{\sigma}{\sqrt{50}}$
$120-1.96\cdot\cfrac{\sigma}{\sqrt{40}}<120-1.96\cdot\cfrac{\sigma}{\sqrt{50}}$
$C_1<D_1$
また,同様にして
$120+1.96\cdot\cfrac{\sigma}{\sqrt{40}}>120+1.96\cdot\cfrac{\sigma}{\sqrt{50}}$
$C_2>D_2$
したがって,$D_1>C_1$ かつ $D_2<C_2$ が成り立つ。
・・・ノ
ここで,$D_2-D_1$ を計算してみると
$D_2-D_1=\bar{X}+1.96\cdot\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}-\Big(\bar{X}-1.96\cdot\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\Big)$
$=2\cdot1.96\cdot\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
$E_2-E_1$ も同様に求めることができる。
このとき,標本の大きさを 50 の $k$ 倍とすると
$D_2-D_1=E_2-E_1$
$2\cdot1.96\cdot\cfrac{\sqrt{640}}{\sqrt{50}}=2\cdot1.96\cdot\cfrac{\sqrt{960}}{\sqrt{50k}}$
$\cfrac{\sqrt{640}}{\sqrt{50}}=\cfrac{\sqrt{960}}{\sqrt{50k}}$
両辺を2乗して
$\cfrac{640}{50}=\cfrac{960}{50k}$
$640k=960$
$k=1.5$
・・・ハ.ヒ
問題文
第3問
(選択問題)
第3問~第5問は,いずれか2問を選択し,解答しなさい。
以下の問題を解答するにあたっては,必要に応じて 33 ページの正規分布表を用いてもよい。
ある大学には,多くの留学生が在籍している。この大学の留学生に対して学習や生活を支援する留学生センターでは,留学生の日本語の学習状況について関心を寄せている。
(1) この大学では,留学生に対する授業として,以下に示す三つの日本語学習コースがある。
初級コース:1週間に10時間の日本語の授業を行う
中級コース:1週間に8時間の日本語の授業を行う
上級コース:1週間に6時間の日本語の授業を行う
すべての留学生が三つのコースのうち,いずれか一つのコースのみに登録することになっている。留学生全体における各コースに登録した留学生の割合は,それぞれ
初級コース:20 %,中級コース:35 %,上級コース:$\boxed{\sf{アイ}}$%
であった。ただし,数値はすべて正確な値であり,四捨五入されていないものとする。
この留学生の集団において,一人を無作為に抽出したとき,その留学生が 1 週間に受講する日本語学習コースの授業の時間数を表す確率変数を $X$ とする。$X$ の平均(期待値)は $\cfrac{\boxed{\sf{ウエ}}}{2}$ であり,$X$ の分散は $\cfrac{\boxed{\sf{オカ}}}{20}$ である。
次に,留学生全体を母集団とし,$a$ 人を無作為に抽出したとき,初級コースに登録した人数を表す確率変数を $Y$ とすると,$Y$ は二項分布に従う。このとき,$Y$ の平均 $E(Y)$ は
$E(Y)=\cfrac{\boxed{\sf{キ}}}{\boxed{\sf{ク}}}$
である。
また,上級コースに登録した人数を表す確率変数を $Z$ とすると,$Z$ は二項分布に従う。$Y$,$Z$ の標準偏差をそれぞれ $\sigma(Y)$,$\sigma(Z)$ とすると
$\cfrac{\sigma(Z)}{\sigma(Y)}=\cfrac{\boxed{\sf{ケ}}\sqrt{\boxed{\sf{コサ}}}}{\boxed{\sf{シ}}}$
である。
ここで,$a=100$ としたとき,無作為に抽出された留学生のうち,初級コースに登録した留学生が 28 人以上となる確率を $p$ とする。$a=100$ は十分大きいので,$Y$ は近似的に正規分布に従う。このことを用いて $p$ の近似値を求めると,$p=\boxed{\boxed{\sf{ス}}}$ である。
$\boxed{\boxed{\text{ス}}}$ については,最も適当なものを,次の⓪~⑤のうちから一つ選べ。
⓪ $0.002$ ① $0.023$ ② $0.228$
③ $0.477$ ④ $0.480$ ⑤ $0.977$
(2) 40 人の留学生を無作為に抽出し,ある1週間における留学生の日本語学習コース以外の日本語の学習時間(分)を調査した。ただし,日本語の学習時間は母平均 $m$,母分散 $\sigma^2$ の分布に従うものとする。
母分散 $\sigma^2$ を 640 と仮定すると,標本平均の標準偏差は $\boxed{\sf{セ}}$ となる。調査の結果,40 人の学習時間の平均値は 120 であった。標本平均が近似的に正規分布に従うとして,母平均 $m$ に対する信頼度 95% の信頼区間を $C_1\leqq m\leqq C_2$ とすると
$C_1=\boxed{\sf{ソタチ}}.\boxed{\sf{ツテ}}$,$C_2=\boxed{\sf{トナニ}}.\boxed{\sf{ヌネ}}$
である。
(3) (2)の調査とは別に,日本語の学習時間を再度調査することになった。そこで,50 人の留学生を無作為に抽出し,調査した結果,学習時間の平均値は 120 であった。
母分散 $\sigma^2$ を 640 と仮定したとき,母平均 $m$ に対する信頼度 95% の信頼区間を $D_1\leqq m\leqq D_2$ とすると,$\boxed{\boxed{\sf{ノ}}}$ が成り立つ。
一方,母分散 $\sigma^2$ を 960 と仮定したとき,母平均 $m$ に対する信頼度 95% の信頼区間を $E_1\leqq m\leqq E_2$ とする。このとき,$D_2-D_1=E_2-E_1$ となるためには,標本の大きさを 50 の $\boxed{\sf{ハ}}.\boxed{\sf{ヒ}}$ 倍にする必要がある。
$\boxed{\boxed{\text{ノ}}}$ の解答群
⓪ $D_1<C_1$ かつ $D_2<C_2$
① $D_1<C_1$ かつ $D_2>C_2$
② $D_1>C_1$ かつ $D_2<C_2$
③ $D_1>C_1$ かつ $D_2>C_2$
正規分布表
$z_0$ | 0.00 | 0.01 | 0.02 | 0.03 | 0.04 | 0.05 | 0.06 | 0.07 | 0.08 | 0.09 |
0.0 | 0.0000 | 0.0040 | 0.0080 | 0.0120 | 0.0160 | 0.0199 | 0.0239 | 0.0279 | 0.0319 | 0.0359 |
0.1 | 0.0398 | 0.0438 | 0.0478 | 0.0517 | 0.0557 | 0.0596 | 0.0636 | 0.0675 | 0.0714 | 0.0753 |
0.2 | 0.0793 | 0.0832 | 0.0871 | 0.0910 | 0.0948 | 0.0987 | 0.1026 | 0.1064 | 0.1103 | 0.1141 |
0.3 | 0.1179 | 0.1217 | 0.1255 | 0.1293 | 0.1331 | 0.1368 | 0.1406 | 0.1443 | 0.1480 | 0.1517 |
0.4 | 0.1554 | 0.1591 | 0.1628 | 0.1664 | 0.1700 | 0.1736 | 0.1772 | 0.1808 | 0.1844 | 0.1879 |
0.5 | 0.1915 | 0.1950 | 0.1985 | 0.2019 | 0.2054 | 0.2088 | 0.2123 | 0.2157 | 0.2190 | 0.2224 |
0.6 | 0.2257 | 0.2291 | 0.2324 | 0.2357 | 0.2389 | 0.2422 | 0.2454 | 0.2486 | 0.2517 | 0.2549 |
0.7 | 0.2580 | 0.2611 | 0.2642 | 0.2673 | 0.2704 | 0.2734 | 0.2764 | 0.2794 | 0.2823 | 0.2852 |
0.8 | 0.2881 | 0.2910 | 0.2939 | 0.2967 | 0.2995 | 0.3023 | 0.3051 | 0.3078 | 0.3106 | 0.3133 |
0.9 | 0.3159 | 0.3186 | 0.3212 | 0.3238 | 0.3264 | 0.3289 | 0.3315 | 0.3340 | 0.3365 | 0.3389 |
1 | 0.3413 | 0.3438 | 0.3461 | 0.3485 | 0.3508 | 0.3531 | 0.3554 | 0.3577 | 0.3599 | 0.3621 |
1.1 | 0.3643 | 0.3665 | 0.3686 | 0.3708 | 0.3729 | 0.3749 | 0.3770 | 0.3790 | 0.3810 | 0.3830 |
1.2 | 0.3849 | 0.3869 | 0.3888 | 0.3907 | 0.3925 | 0.3944 | 0.3962 | 0.3980 | 0.3997 | 0.4015 |
1.3 | 0.4032 | 0.4049 | 0.4066 | 0.4082 | 0.4099 | 0.4115 | 0.4131 | 0.4147 | 0.4162 | 0.4177 |
1.4 | 0.4192 | 0.4207 | 0.4222 | 0.4236 | 0.4251 | 0.4265 | 0.4279 | 0.4292 | 0.4306 | 0.4319 |
1.5 | 0.4332 | 0.4345 | 0.4357 | 0.4370 | 0.4382 | 0.4394 | 0.4406 | 0.4418 | 0.4429 | 0.4441 |
1.6 | 0.4452 | 0.4463 | 0.4474 | 0.4484 | 0.4495 | 0.4505 | 0.4515 | 0.4525 | 0.4535 | 0.4545 |
1.7 | 0.4554 | 0.4564 | 0.4573 | 0.4582 | 0.4591 | 0.4599 | 0.4608 | 0.4616 | 0.4625 | 0.4633 |
1.8 | 0.4641 | 0.4649 | 0.4656 | 0.4664 | 0.4671 | 0.4678 | 0.4686 | 0.4693 | 0.4699 | 0.4706 |
1.9 | 0.4713 | 0.4719 | 0.4726 | 0.4732 | 0.4738 | 0.4744 | 0.4750 | 0.4756 | 0.4761 | 0.4767 |
2.0 | 0.4772 | 0.4778 | 0.4783 | 0.4788 | 0.4793 | 0.4798 | 0.4803 | 0.4808 | 0.4812 | 0.4817 |
2.1 | 0.4821 | 0.4826 | 0.4830 | 0.4834 | 0.4838 | 0.4842 | 0.4846 | 0.4850 | 0.4854 | 0.4857 |
2.2 | 0.4861 | 0.4864 | 0.4868 | 0.4871 | 0.4875 | 0.4878 | 0.4881 | 0.4884 | 0.4887 | 0.4890 |
2.3 | 0.4893 | 0.4896 | 0.4898 | 0.4901 | 0.4904 | 0.4906 | 0.4909 | 0.4911 | 0.4913 | 0.4916 |
2.4 | 0.4918 | 0.4920 | 0.4922 | 0.4925 | 0.4927 | 0.4929 | 0.4931 | 0.4932 | 0.4934 | 0.4936 |
2.5 | 0.4938 | 0.4940 | 0.4941 | 0.4943 | 0.4945 | 0.4946 | 0.4948 | 0.4949 | 0.4951 | 0.4952 |
2.6 | 0.4953 | 0.4955 | 0.4956 | 0.4957 | 0.4959 | 0.4960 | 0.4961 | 0.4962 | 0.4963 | 0.4964 |
2.7 | 0.4965 | 0.4966 | 0.4967 | 0.4968 | 0.4969 | 0.4970 | 0.4971 | 0.4972 | 0.4973 | 0.4974 |
2.8 | 0.4974 | 0.4975 | 0.4976 | 0.4977 | 0.4977 | 0.4978 | 0.4979 | 0.4979 | 0.4980 | 0.4981 |
2.9 | 0.4981 | 0.4982 | 0.4982 | 0.4983 | 0.4984 | 0.4984 | 0.4985 | 0.4985 | 0.4986 | 0.4986 |
3.0 | 0.4987 | 0.4987 | 0.4987 | 0.4988 | 0.4988 | 0.4989 | 0.4989 | 0.4989 | 0.4990 | 0.4990 |
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