【スマホで読む・わかりやすい】共通テスト数学IA2021第2日程【解説・正解・問題】

第4問　正解

ア,イ,ウ,エ　3,2,1,0　オ　3
カ　8　キ　4
クケ,コ,サ,シ　12,8,4,0
ス　3　セソタ　448

(1)

$m=14$ のとき

$a^2+b^2+c^2+d^2=14$

$a\geqq b\geqq c\geqq d\geqq0$ の条件のもと，$a^2,b^2,c^2,d^2$ にそれぞれ $0,4,9,16,\cdots$ を当てはめていくと

$9+4+1=14$ だから

$3^2+2^2+1^2+0^2=14$

したがって

$(a,b,c,d)=(3,2,1,0)$

・・・ア，イ，ウ，エ

また，$m=28$ のとき

$a^2+b^2+c^2+d^2=28$

式が成り立つ組み合わせは

$25+1+1+1=28$
$16+4+4+4=28$
$9+9+9+1=28$

したがって，①を満たす整数 $a,b,c,d$ の組の個数は 3 個である。

・・・オ

(2)

$k$ を整数として

$a^2-1=kh$

$a=2n+1$ とすると

$(2n+1)^2-1=kh$
$4n^2+4n+1-1=kh$
$4n^2+4n=kh$
$4n(n+1)=kh$

$n(n+1)$ は偶数だから，$\ell$ を整数として，偶数を $2\ell$ とすると

$4\cdot2\ell=kh$
$8\ell=kh$

このとき，$a$ は奇数だから，$\ell$ は 1 以上の整数であり，また $h$ は正の整数だから，$k$ も 1 以上の整数であることに注意する。

式がすべての奇数 $a$ で成り立つことから，$\ell=1$ のときも式は成り立つ。したがって

$8=kh$

となり，式が成り立つ最大の $h$ は 8 である。

・・・カ

さらに，$a$ が奇数のとき $a=2n+1$ とすると

$a^2=(2n+1)^2=4n(n+1)+1$

$n(n+1)$ は偶数だから $2\ell$ とすると

$=4\cdot2\ell+1=8\ell+1$

したがって，$a$ が奇数のとき，$a^2$ を 8 で割ったときの余りは 1 である。

また，$a$ が偶数のとき，$a=2n$ とすると

$a^2=(2n)^2=4n^2$

$n$ が奇数のとき，$n=2\ell+1$ とすると

$=4(2\ell+1)^2=16\ell^2+16\ell+4$
$=8(2\ell^2+2\ell)+4$

となり，8 で割ったときの余りは 4 である。

$n$ が偶数のとき，$n=2\ell$ とすると

$a^2=4(2\ell)^2=8\cdot2\ell^2$

となり，8 で割ったときの余りは 0 である。

したがって，$a$ が偶数のとき，$a^2$ を 8 で割ったときの余りは，0 または 4 のいずれかである。

(3)

$a^2+b^2+c^2+d^2$ が 8 の倍数であるとき，$a^2,b^2,c^2,d^2$ をそれぞれ 8 で割ったときの余りを足し合わせると，その合計は 8 で割り切れる。

また，$a^2+b^2+c^2+d^2$ は偶数だから，$a^2,b^2,c^2,d^2$ の組み合わせは

奇数＋奇数＋奇数＋奇数
偶数＋偶数＋奇数＋奇数
偶数＋偶数＋偶数＋偶数

のいずれかである。

・奇数＋奇数＋奇数＋奇数のとき

余りの合計は

$1+1+1+1=4$

となるので，不適。

・偶数＋偶数＋奇数＋奇数のとき

(0または4)＋(0または4)＋1＋1

合計は 2，6，10 のいずれかであるので，不適。

・偶数＋偶数＋偶数＋偶数のとき

$4+4+0+0=8$

この組み合わせのとき，8 で割り切れる。

したがって，偶数であるものの個数は 4 個である。

・・・キ

(4)

$m=224$ として

$a^2+b^2+c^2+d^2=224$

また，(3)より，$a^2,b^2,c^2,d^2$ はすべて偶数であることに注意する。

当てはまる数を求めるには，$a^2$ が 224 以下でかつ 224 に最も近い数から考えると良い。

$14^2=196$ より

$224-196=28$

$4^2=16$ より

$28-16=12$

$2^2=4$ より

$12-4=8$

ここで，$14^2+4^2+2^2$ とすると $d$ を満たす整数が存在しないことが分かる。よって不適。

次に，$12^2=144$ より

$224-144=80$

$8^2=64$ より

$80-64=16$

$4^2=16$ だから

$12^2+8^2+4^2+0=224$

となる。

したがって，①を満たす整数 $a,b,c,d$ の組 $(a,b,c,d)$ は

$(12,8,4,0)$

・・・クケ，コ，サ，シ

(5)

896 を素因数分解すると

$896=2^7\times7$

7 の倍数で 896 の約数である正の整数の組は

$7,7\times2,7\times2^2,7\times2^3$
$7\times2^4,7\times2^5,7\times2^6,7\times2^7$

である。

・$m=7$ のとき

式を満たす整数 $a,b,c,d$ の組は

$(2,1,1,1)$ 

の 1 組だけである。よって，不適。

・$m=14$ のとき

(1)より，式を満たす整数 $a,b,c,d$ の組は 1 組だけである。よって，不適。

さらに，$m=28$ 以上の場合について考える。

ここで，(1)で求めた

$5^2+1+1+1=28$
$4^4+2^2+2^2+2^2=28$
$3^3+3^3+3^3+1=28$

を利用すると良い。$m=28$ のとき，①を満たす整数 $a,b,c,d$ の組の個数は 3 個である。

$28=2^2\times7$ であることに注意すると，両辺は因数として 7 を 1 個だけ含むことが分かる。

たとえば，両辺に 2 をかけると

$2(5^2+1+1+1)=2^3\times7$
$50+2+2+2=2^3\times7$

となる。しかし，$a^2=50$ を満たす整数は存在しないので，不適。

次に，両辺に $2^2$ をかけると

$2^2(5^2+1+1+1)=2^4\times7$
$(2\times5)^2+2^2+2^2+2^2=2^4\times7$

よって，$(a,b,c,d)=(10,2,2,2)$ が成り立つ。

このようにして考えると，両辺に $2^2,2^4$ をかけたときに左辺のそれぞれの項が整数の 2 乗の形となることが分かる。

これに $m=28$ のときを加えると

①を満たす整数 $a,b,c,d$ の組の個数が 3 個であるものの個数は 3 個である。

・・・ス

また，両辺に $2^4$ をかけると，右辺は

$2^4\times28=448$

・・・セソタ

問題文

第3問～第5問は，いずれか2問を選択し，解答しなさい。

第4問 (選択問題)

正の整数 $m$ に対して

$a^2+b^2+c^2+d^2=m$，$a\geqq b\geqq c\geqq d\geqq0$ ・・・・・・①

を満たす整数 $a$，$b$，$c$，$d$ の組がいくつあるかを考える。

(1) $m=14$ のとき，①を満たす整数 $a$，$b$，$c$，$d$ の組$(a,b,c,d)$は

$(\boxed{\sf{ア}},\boxed{\sf{イ}},\boxed{\sf{ウ}},\boxed{\sf{エ}})$

のただ一つである。 

また，$m=28$ のとき，①を満たす整数 $a$，$b$，$c$，$d$ の組の個数は $\boxed{\sf{オ}}$ 個である。

(2) $a$ が奇数のとき，整数 $n$ を用いて $a=2n+1$ と表すことができる。このとき，$n(n+1)$ は偶数であるから，次の条件がすべての奇数 $a$ で成り立つような正の整数 $h$ のうち，最大のものは $h=\boxed{\sf{カ}}$ である。

　条件：$a^2-1$ は $h$ の倍数である。

よって，$a$ が奇数のとき，$a^2$ を入力で割ったときの余りは 1 である。

また，$a$ が偶数のとき，$a^2$ を $\boxed{\text{カ}}$ で割ったときの余りは，0 または 4 のいずれかである。

(3) (2) により，$a^2+b^2+c^2+d^2$ が $\boxed{\text{カ}}$ の倍数ならば，整数 $a$，$b$，$c$，$d$ のうち，偶数であるものの個数は $\boxed{\sf{キ}}$ 個である。

(4) (3) を用いることにより，$m$が $\boxed{\text{カ}}$ の倍数であるとき，①を満たす整数 $a$，$b$，$c$，$d$ が求めやすくなる。

例えば，$m=224$ のとき，①を満たす整数 $a$，$b$，$c$，$d$ の組 $(a,b,c,d)$ は

$(\boxed{\sf{クケ}},\boxed{\sf{コ}},\boxed{\sf{サ}},\boxed{\sf{シ}})$

のただ一つであることがわかる。

(5) 7 の倍数で 896 の約数である正の整数 $m$ のうち，1 を満たす整数 $a$，$b$，$c$，$d$ の組の個数が $\boxed{\text{オ}}$ 個であるものの個数は $\boxed{\sf{ス}}$ 個であり，そのうち最大のものは $m=\boxed{\sf{セソタ}}$ である。