数IAIIB横浜国立大高校数学の解法

横浜国立大2020文系第1問 空間ベクトルと四面体:直角二等辺三角形を利用する

空間内に 4 点 O,A,B,C があり,

$|\overrightarrow{\text{OA}}|=|\overrightarrow{\text{OB}}|=|\overrightarrow{\text{OC}}|=1$
$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{\text{OB}}\cdot\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OC}}\cdot\overrightarrow{\text{OA}}=k$ $(0<k<1)$

をみたしている。ただし,$\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}$ は $\overrightarrow{\text{OA}}$ と $\overrightarrow{\text{OB}}$ の内積を表す。三角形 ABC の重心を M とする。線分 OM 上に点 P があり,∠APB = 90° をみたしている。

$\cfrac{|\overrightarrow{\text{OP}}|}{|\overrightarrow{\text{OM}}|}$ と $|\overrightarrow{\text{AP}}|$ をそれぞれ $k$ の式で表せ。

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直角三角形を調べる

$\overrightarrow{\text{OP}}=t\overrightarrow{\text{OM}}$ ってしたらいけるかなって思ったけど,うまくいかなかったです。

発想はそれでいいけど,もう少し手がかりないと解けないだろうね。

あと,$\overrightarrow{\text{AP}}\cdot\overrightarrow{\text{BP}}=0$ ですよね。

そうね。でも,それでも足りないかも。

他に手がかりがないかを考えます。△APBは直角三角形です。これについてもう少し掘り下げてみましょう。

そもそも,内積がすべて $k$ であることから,△ABC のそれぞれの辺はすべて等しくなり,正三角形であると言えます。よって,AP と BP は同じ長さなのではないかという推測ができます。

直感的には △APB は直角二等辺三角形っぽい。確かめてみようか。

△APB について
$\overrightarrow{\text{AP}}=\overrightarrow{\text{OP}}-\overrightarrow{\text{OA}}$
$|\overrightarrow{\text{AP}}|^2=(\overrightarrow{\text{OP}}-\overrightarrow{\text{OA}})^2$
$|\overrightarrow{\text{AP}}|^2=|\overrightarrow{\text{OP}}|^2-2\overrightarrow{\text{OP}}\cdot\overrightarrow{\text{OA}}+|\overrightarrow{\text{OA}}|^2$ ・・・①

同様にして

$|\overrightarrow{\text{BP}}|^2=|\overrightarrow{\text{OP}}|^2-2\overrightarrow{\text{OP}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}+|\overrightarrow{\text{OB}}|^2$ ・・・②

ここで,$\overrightarrow{\text{OP}}=t\overrightarrow{\text{OM}}$ とすると,M は △ABC の重心だから
$\overrightarrow{\text{OP}}=\cfrac{t}{3}(\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}})$

よって

$\overrightarrow{\text{OP}}\cdot\overrightarrow{\text{OA}}=\cfrac{t}{3}(|\overrightarrow{\text{OA}}|^2+\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OC}})$
$=\cfrac{t}{3}(1+2k)$ ・・・③

また

$\overrightarrow{\text{OP}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}=\cfrac{t}{3}(\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}+|\overrightarrow{\text{OB}}|^2+\overrightarrow{\text{OB}}\cdot\overrightarrow{\text{OC}})$
$=\cfrac{t}{3}(1+2k)$ ・・・④

これらを①,②に代入すると

$|\overrightarrow{\text{AP}}|^2=|\overrightarrow{\text{BP}}|^2$
$|\overrightarrow{\text{AP}}|=|\overrightarrow{\text{BP}}|$

よって,△APB は AP=BP の直角二等辺三角形である。

さらに,AB の長さを求めると

$\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}}$

$|\overrightarrow{\text{AB}}|^2=(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}})^2$
$=|\overrightarrow{\text{OB}}|^2-2\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}+|\overrightarrow{\text{OA}}|^2$
$=2-2k$

$|\overrightarrow{\text{AB}}|=\sqrt{2-2k}$

AP : BP : AB = $1:1:\sqrt{2}$ だから

$|\overrightarrow{\text{AP}}|=|\overrightarrow{\text{AB}}|=\cfrac{\sqrt{2-2k}}{\sqrt{2}}$
$=\sqrt{1-k}$ (答え)

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t の値を求める

いったん,$\overrightarrow{\text{OP}}=t\overrightarrow{\text{OM}}$ としたので,結局 $\cfrac{|\overrightarrow{\text{OP}}|}{|\overrightarrow{\text{OM}}|}=t$ です。

$t$ の値を求めていきましょう。

とりあえず,まだ内積 0 の関係を使っていないので,式にしてみましょう。

$\overrightarrow{\text{AP}}\cdot\overrightarrow{\text{BP}}=(\overrightarrow{\text{OP}}-\overrightarrow{\text{OA}})(\overrightarrow{\text{OP}}-\overrightarrow{\text{OB}})$
$=|\overrightarrow{\text{OP}}|^2-\overrightarrow{\text{OP}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OP}}\cdot\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}$

③,④より

$=|\overrightarrow{\text{OP}}|^2-\cfrac{2}{3}t(1+2k)+k=0$ ・・・⑤

こうなると $|\overrightarrow{\text{OP}}|$ を求める必要が出てきます。

$|\overrightarrow{\text{OP}}|^2=\Big\{\cfrac{t}{3}(\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}})\Big\}^2$

公式 $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

$=\cfrac{t^2}{9}(|\overrightarrow{\text{OA}}|^2+|\overrightarrow{\text{OB}}|^2+|\overrightarrow{\text{OC}}|^2+2\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}+2\overrightarrow{\text{OB}}\cdot\overrightarrow{\text{OC}}+2\overrightarrow{\text{OC}}\cdot\overrightarrow{\text{OA}})$
$=\cfrac{t^2}{9}(3+6k)$
$=\cfrac{t^2}{3}(1+2k)$

⑤に代入して

$\cfrac{1}{3}(1+2k)t^2-\cfrac{2}{3}(1+2k)t+k=0$
$(1+2k)t^2-2(1+2k)t+3k=0$
$t=\cfrac{1+2k\pm\sqrt{(1+2k)^2-3k(1+2k)}}{1+2k}$
$=\cfrac{1+2k\pm\sqrt{(1+2k)(1+2k-3k)}}{1+2k}$
$=\cfrac{1+2k\pm\sqrt{(1+2k)(1-k)}}{1+2k}$
$=1\pm\sqrt{\cfrac{(1+2k)(1-k)}{(1+2k)^2}}$
$=1\pm\sqrt{\cfrac{1-k}{1+2k}}$

$0\leqq t\leqq1$ より

$ \cfrac{|\overrightarrow{\text{OP}}|}{|\overrightarrow{\text{OM}}|} =1-\sqrt{\cfrac{1-k}{1+2k}}$ (答え)

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